Escreva as equações de K_{p}, K_{v} e K_{a} e as equações de erro para cada caso.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (1) escrever as expressões de K_{p}, K_{v} e K_{a}; (2) escrever as equações do erro de regime permanente (steady-state error) para cada caso de entrada padrão (impulso de posição, rampa e parábola).
Informações implícitas que vou usar sem te perguntar (padrão em problemas assim): consideramos um sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência direta é G(s). A saída fechada é Y(s), a referência é R(s) e o erro é E(s)=R(s)-Y(s). A partir disso podemos aplicar o Teorema do Valor Final para encontrar o erro em regime permanente.

Passo 2

Explicando a ferramenta que vamos usar (a base das fórmulas): o Teorema do Valor Final afirma que, quando aplicável,
\lim_{t\to\infty} f(t)=\lim_{s\to 0} sF(s).
Aqui F(s) é a transformada de Laplace de f(t). Para o erro em regime permanente queremos
e_{ss}=\lim_{t\to\infty} e(t)=\lim_{s\to 0} sE(s).
Num sistema de realimentação unitária a função de sensibilidade (erro em função da referência) é
E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}.
Portanto para qualquer entrada R(s) podemos escrever
e_{ss}=\lim_{s\to 0} s\frac{R(s)}{1+G(s)}.
Essa é a fórmula geral que usaremos para cada tipo de entrada.

Passo 3

Definições de K_{p}, K_{v} e K_{a} (essas constantes medem a capacidade do laço de reduzir o erro para entradas de baixa frequência):
K_p=\lim_{s\to 0} G(s),
K_v=\lim_{s\to 0} s\,G(s),
K_a=\lim_{s\to 0} s^{2}G(s).
Explicando em palavras: K_p é o ganho estático em frequência zero (importante para entrada degrau), K_v é o ganho com um fator s (importante para entrada rampa) e K_a usa s^{2} (importante para entrada parabólica). Essas definições vêm de avaliar o comportamento de G(s) perto de s=0.

Passo 4

Erro para entrada degrau unitário. A referência unitária degrau tem Laplace R(s)=1/s. Aplicando a fórmula geral:
e_{ss}=\lim_{s\to 0} s\frac{1/s}{1+G(s)}=\lim_{s\to 0}\frac{1}{1+G(s)}.
Tomando o limite, obtemos a forma em termos de K_p:
e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}.
Interpretação prática: se K_p for finito, esse é o erro; se K_p\to\infty então e_{ss}=0 (erro nulo para degrau). Se K_p=0 então e_{ss}=1.

Passo 5

Erro para entrada rampa unitária. A referência rampa unitária tem Laplace R(s)=1/s^{2}. Aplicando a fórmula:
e_{ss}=\lim_{s\to 0} s\frac{1/s^{2}}{1+G(s)}=\lim_{s\to 0}\frac{1}{s(1+G(s))}.
Para obter uma expressão prática, usamos a definição de K_v. Uma manipulação conveniente é escrever
\frac{1}{s(1+G(s))}=\frac{1}{sG(s)}\cdot\frac{G(s)}{1+G(s)}.
Ao levar s\to 0, se G(s) cresce (caso típico quando existe um integrador na malha direta), então \frac{G(s)}{1+G(s)}\to 1 e o limite fica
e_{ss}=\frac{1}{K_v}.
Na prática: se K_v for finito e não nulo, e_{ss}=1/K_v. Se K_v\to\infty então e_{ss}=0. Se K_v=0 então e_{ss}\to\infty (erro cresce sem limite).

Passo 6

Erro para entrada parabólica unitária. A referência “parabólica unitária” usualmente tomada para padronizar é r(t)=\tfrac{1}{2}t^{2}, cuja Laplace é R(s)=1/s^{3}. Aplicando a fórmula:
e_{ss}=\lim_{s\to 0} s\frac{1/s^{3}}{1+G(s)}=\lim_{s\to 0}\frac{1}{s^{2}(1+G(s))}.
Usando uma manipulação análoga e a definição de K_a,
\frac{1}{s^{2}(1+G(s))}=\frac{1}{s^{2}G(s)}\cdot\frac{G(s)}{1+G(s)},
e, quando o limite existe de forma apropriada (casos práticos com integradores suficientes na malha direta), obtemos
e_{ss}=\frac{1}{K_a}.
Novamente: se K_a finito e não nulo, e_{ss}=1/K_a; se K_a\to\infty então e_{ss}=0; se K_a=0 então e_{ss}\to\infty.

Passo 7

Resumo das condições práticas relacionadas ao número de polos em origem (explicação rápida para usar nas provas): o “tipo” do sistema é o número de polos de G(s) em s=0 (número de integradores na malha direta).
  • Tipo 0: K_p finito, K_v=0, K_a=0. Resultado: erro finito para degrau, infinito para rampa e parábola.
  • Tipo 1: K_p=\infty, K_v finito, K_a=0. Resultado: erro nulo para degrau, finito para rampa, infinito para parábola.
  • Tipo 2: K_p=\infty, K_v=\infty, K_a finito. Resultado: erro nulo para degrau e rampa, finito para parábola.
    Essas conclusões ajudam a rapidamente prever o comportamento sem calcular limites tediosos na prova.

Resposta

K_p=\displaystyle \lim_{s\to 0} G(s)
K_v=\displaystyle \lim_{s\to 0} s\,G(s)
K_a=\displaystyle \lim_{s\to 0} s^{2}G(s)
Para entrada degrau unitário R(s)=1/s:
e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}.
Para entrada rampa unitária R(s)=1/s^{2}:
e_{ss}=\frac{1}{K_v}.
Para entrada parabólica unitária R(s)=1/s^{3} (correspondente a r(t)=\tfrac{1}{2}t^{2}):
e_{ss}=\frac{1}{K_a}.

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