Escreva as equações de
e
e as equações de erro para cada caso.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (1) escrever as expressões de
,
e
; (2) escrever as equações do erro de regime permanente (steady-state error) para cada caso de entrada padrão (impulso de posição, rampa e parábola).
Informações implícitas que vou usar sem te perguntar (padrão em problemas assim): consideramos um sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência direta é . A saída fechada é
, a referência é
e o erro é
. A partir disso podemos aplicar o Teorema do Valor Final para encontrar o erro em regime permanente.
Informações implícitas que vou usar sem te perguntar (padrão em problemas assim): consideramos um sistema em malha fechada com realimentação unitária cuja função de transferência direta é
Passo 2
Explicando a ferramenta que vamos usar (a base das fórmulas): o Teorema do Valor Final afirma que, quando aplicável,
Aqui
é a transformada de Laplace de
. Para o erro em regime permanente queremos
Num sistema de realimentação unitária a função de sensibilidade (erro em função da referência) é
Portanto para qualquer entrada
podemos escrever
Essa é a fórmula geral que usaremos para cada tipo de entrada.
Passo 3
Definições de
,
e
(essas constantes medem a capacidade do laço de reduzir o erro para entradas de baixa frequência):
Explicando em palavras:
é o ganho estático em frequência zero (importante para entrada degrau),
é o ganho com um fator
(importante para entrada rampa) e
usa
(importante para entrada parabólica). Essas definições vêm de avaliar o comportamento de
perto de
.
Passo 4
Erro para entrada degrau unitário. A referência unitária degrau tem Laplace
. Aplicando a fórmula geral:
Tomando o limite, obtemos a forma em termos de
:
Interpretação prática: se
for finito, esse é o erro; se
então
(erro nulo para degrau). Se
então
.
Passo 5
Erro para entrada rampa unitária. A referência rampa unitária tem Laplace
. Aplicando a fórmula:
Para obter uma expressão prática, usamos a definição de
. Uma manipulação conveniente é escrever
Ao levar
, se
cresce (caso típico quando existe um integrador na malha direta), então
e o limite fica
Na prática: se
for finito e não nulo,
. Se
então
. Se
então
(erro cresce sem limite).
Passo 6
Erro para entrada parabólica unitária. A referência “parabólica unitária” usualmente tomada para padronizar é
, cuja Laplace é
. Aplicando a fórmula:
Usando uma manipulação análoga e a definição de
,
e, quando o limite existe de forma apropriada (casos práticos com integradores suficientes na malha direta), obtemos
Novamente: se
finito e não nulo,
; se
então
; se
então
.
Passo 7
Resumo das condições práticas relacionadas ao número de polos em origem (explicação rápida para usar nas provas): o “tipo” do sistema é o número de polos de
em
(número de integradores na malha direta).
- Tipo 0:
finito, , . Resultado: erro finito para degrau, infinito para rampa e parábola. - Tipo 1:
, finito, . Resultado: erro nulo para degrau, finito para rampa, infinito para parábola. - Tipo 2:
, , finito. Resultado: erro nulo para degrau e rampa, finito para parábola.
Essas conclusões ajudam a rapidamente prever o comportamento sem calcular limites tediosos na prova.
Resposta
Para entrada degrau unitário
:
Para entrada rampa unitária
:
Para entrada parabólica unitária
(correspondente a
):