Uma esfera de cobre de 10 cm de diâmetro deve ser aquecida de 110^{\circ} \mathrm{C} até uma temperatura média de 150^{\circ} \mathrm{C} em 30 minutos. Admitindo que os valores médios da densidade e do calor específico da esfera são 8.950 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e 0.395 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}{ }^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, determine: i. a quantidade de calor transferido para a esfera de cobre; ii. a taxa média do calor transferido para a bola; iii. o fluxo médio de calor.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre uma esfera de cobre que vai de 110^\circ\mathrm{C} para 150^\circ\mathrm{C} em 30 minutos:
  1. A quantidade de calor transferido para a esfera (isto é, Q).
  2. A taxa média de calor transferido (isto é, \dot{Q}, em watts).
  3. O fluxo médio de calor na superfície da esfera (isto é, q'', em \mathrm{W/m^{2}}).
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números que aparecem no enunciado):
\begin{aligned} &\text{diâmetro da esfera: } d = 10\\ \mathrm{cm} = 0,10\\ \mathrm{m},\\\ &\text{logo, raio: } r = \frac{d}{2} = 0,05\\ \mathrm{m},\\\ &\text{variação de temperatura: } \Delta T = 150^\circ\mathrm{C}-110^\circ\mathrm{C}=40^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{tempo: } t = 30\\ \text{min} = 30\cdot60\\ \mathrm{s} = 1800\\ \mathrm{s},\\\ &\text{densidade média: } \rho = 8\,950\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\\ &\text{calor específico médio: } c = 0,395\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}. \end{aligned}âçãéíé
Observação: como a unidade de c está em \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}, eu posso trabalhar em kJ para Q (ou converter para J quando necessário). A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos lembrar e usar a fórmula do volume de uma esfera e calcular o volume da peça para obter a massa. Fórmula do volume de uma esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^{3},
onde r é o raio da esfera (em metros). Substituindo r=0,05\\ \mathrm{m}:
V=\frac{4}{3}\pi(0,05)^{3}=\frac{4}{3}\pi(0,000125)=0,0005235988\\ \mathrm{m^{3}}.
Explicação didática rápida: r^{3} significa multiplicar r três vezes; o factor \frac{4}{3}\pi é a constante geométrica que dá o volume da esfera.

Passo 3

Com o volume em mãos, calculamos a massa usando a relação massa = densidade \times volume:
m=\rho V.
Substituindo os valores:
m=8\,950\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 0,0005235988\\ \mathrm{m^{3}}=4,686209\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: a esfera de cobre de 10 cm de diâmetro pesa aproximadamente 4,686\\ \mathrm{kg}. Aqui eu mantive mais casas decimais para evitar erro de arredondamento posterior; na prova dá para usar 4,69\\ \mathrm{kg} se preferir.

Passo 4

Precisamos do calor específico em unidades coerentes com a unidade que queremos para Q. O calor específico foi dado como
c=0,395\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}.
Significado de c: energia necessária (em kJ) para elevar 1\\ \mathrm{kg} do material em 1^\circ\mathrm{C}. Podemos trabalhar em kJ diretamente: então a energia resultante Q virá em kJ se multiplicarmos m (em kg), c (em kJ/kg°C) e \Delta T (em °C).

Passo 5

A fórmula básica para calor sensível (quando não há mudança de fase) é:
Q = m c \Delta T,
onde
  • Q é a quantidade de calor (em kJ se c estiver em kJ/kg°C),
  • m é a massa em kg,
  • c é o calor específico em kJ/(kg°C),
  • \Delta T é a variação de temperatura em °C.
Substituindo:
Q = 4,686209\\ \mathrm{kg}\times 0,395\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}\times 40^\circ\mathrm{C}.
Calcule passo a passo:
0,395\times 40 = 15,8\\ \mathrm{kJ/(kg)},
Q = 4,686209\times 15,8 = 74,042\\ \mathrm{kJ}.
Se você preferir em joules:
Q = 74,042\\ \mathrm{kJ} = 74\,042\\ \mathrm{J}.
Comentário motivador: então precisamos fornecer cerca de 74\\ \mathrm{kJ} para aquecer essa bolinha — não é exagero!

Passo 6

Agora a taxa média de calor (potência média) é simplesmente a energia dividida pelo tempo:
\dot{Q}=\frac{Q}{t}.
Usando Q em joules e t em segundos para obter \dot{Q} em watts:
\dot{Q}=\frac{74\,042\\ \mathrm{J}}{1800\\ \mathrm{s}}=41,1344\\ \mathrm{W}.
Explicação: 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}. Então a potê ncia média requerida é aproximadamente 41,13\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Para encontrar o fluxo médio de calor na superfície (densidade de fluxo de calor), usamos:
q''=\frac{\dot{Q}}{A},
onde A é a área superficial da esfera. A área superficial de uma esfera é
A=4\pi r^{2}.
Com r=0,05\\ \mathrm{m}:
A=4\pi(0,05)^{2}=4\pi(0,0025)=0,01\pi=0,0314159\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora o fluxo médio:
q''=\frac{41,1344\\ \mathrm{W}}{0,0314159\\ \mathrm{m^{2}}}=1\,310,78\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Interpretação: em média, cada metro quadrado da superfície da esfera recebe cerca de 1{,}31\times10^{3}\\ \mathrm{W} durante o aquecimento. É um valor razoável para aquecimento por convecção/irradiação em aplicações práticas.

Passo 8

Resumo das unidades e arredondamento final razoável para prova (duas casas decimais onde faz sentido):
Q\approx 74,04\\ \mathrm{kJ}\quad(\text{ou }74\,042\\ \mathrm{J}),
\dot{Q}\approx 41,13\\ \mathrm{W},
q''\approx 1,31\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Resposta

i.\\ Q = 74,04\\ \mathrm{kJ}
ii.\\ \dot{Q} = 41,13\\ \mathrm{W}
iii.\\ q'' = 1,31\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^{2}}

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