Ar é submetido a um processo isentrópico de 1 \mathrm{~atm}, 27^{\circ} \mathrm{C} até um estado final em que a temperatura é 377^{\circ} \mathrm{C}. Utilizando o modelo de gás ideal, determine a pressão final em atm utilizando:
razão de calor especifico constante, k , avaliada na temperatura média de 475 K , pela tabela A20

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Condições iniciais: pressão inicial p_1 = 1\\ \text{atm} e temperatura inicial 27^\circ\mathrm{C}.
  • Condição final: temperatura final 377^\circ\mathrm{C}.
  • Processo: isentrópico.
  • Modelo: gás ideal.
  • Pedido: determinar a pressão final p_2 em atm.
  • Observação do enunciado: usar a razão de calores específicos k avaliada na temperatura média 475\\ \text{K} e tomar esse valor da tabela A20.
Dados numéricos que vou usar (convertendo temperaturas para Kelvin):
  • Temperatura inicial T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 300\\ \text{K}.
  • Temperatura final T_2 = 377^\circ\mathrm{C} = 650\\ \text{K}.
A partir daqui eu passo a resolver passo a passo.

Passo 2

Apresento a relação isentrópica para um gás ideal (fórmula que relaciona temperatura e pressão em um processo isentrópico):
\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}.
Explicando a fórmula de forma didática:
  • \,T_1 é a temperatura inicial em Kelvin.
  • \,T_2 é a temperatura final em Kelvin.
  • \,p_1 é a pressão inicial.
  • \,p_2 é a pressão final que queremos.
  • \,k é a razão de capacidades térmicas, k = \dfrac{c_p}{c_v}, onde c_p é o calor específico a pressão constante e c_v é o calor específico a volume constante.
  • A fórmula vem da combinação das equações de estado do gás ideal com a condição de processo isentrópico (adiabático reversível), e serve para relacionar como pressão e temperatura variam juntas quando a entropia é constante.

Passo 3

Isolo p_2 a partir da relação anterior para poder calcular numericamente:
\frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{k}{k-1}}.
Portanto
p_2 = p_1 \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{k}{k-1}}.
Aqui já fica claro que preciso do valor de k e das temperaturas em Kelvin (já identificadas no Passo 1).

Passo 4

Pegando o valor de k na tabela A20 à temperatura média 475\\ \text{K} (conforme instrução do enunciado): eu utilizo o valor
k = 1,395
(observação: este valor foi obtido da tabela A20 para ar à 475\\ \text{K}, conforme o enunciado pediu).
Explicando por que usar a temperatura média: k varia um pouco com a temperatura; como o enunciado pede para avaliá-lo na temperatura média entre inicial e final, usamos essa aproximação para k.

Passo 5

Substituo os valores numéricos na expressão. Primeiro a razão de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1} = \frac{650}{300} = \frac{13}{6} \approx 2,1667.
Calculo o expoente \dfrac{k}{k-1}:
\frac{k}{k-1} = \frac{1,395}{1,395-1} = \frac{1,395}{0,395} \approx 3,53165.

Passo 6

Vou calcular \dfrac{p_2}{p_1} usando logaritmos para ficar claro o passo a passo:
\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = \frac{k}{k-1}\,\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Substituindo números (todos dentro de fórmulas):
\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) \approx 3,53165 \times \ln(2,1667).
Calculo \ln(2,1667):
\ln(2,1667) \approx 0,77319.
Multiplicando:
\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) \approx 3,53165 \times 0,77319 \approx 2,7300.
Agora exponencio para obter a razão de pressões:
\frac{p_2}{p_1} \approx e^{2,7300} \approx 15,34.

Passo 7

Finalmente obtenho p_2:
p_2 = p_1 \times 15,34 = 1\\ \text{atm} \times 15,34 = 15,34\\ \text{atm}.
Comentário sobre algarismos significativos: os dados iniciais (temperaturas dadas com 3 dígitos e p_1 como 1 atm) justificam apresentar p_2 com aproximadamente três algarismos significativos, então podemos escrever p_2 \approx 15,3\\ \text{atm} se desejar arredondar.

Resposta

p_2 = 15,34\\ \text{atm}

Exercícios relacionados