Exercício - trabalho e calor proc comp politropico

Um compressor de ar opera em regime permanente com ar admitido a 1 bar e 20^{\circ} \mathrm{C} e descarregado a 5 bar. Determine o trabalho e o calor transferido por unidade de massa que passa através do equipamento, em kJ/kg, se o ar é submetido a um processo politrópico com \mathrm{n}=1,3. Despreze os efeitos de energia cinética e potencial e utilize o modelo de gás ideal para o ar
R.:
Trabalho: -163,91 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}
Calor: -30,76 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}

Passo 1

O enunciado dá um compressor operando em regime permanente (escoamento estacionário) com ar admitido a p_1=1\\ \text{bar} e T_1=20^\circ\text{C} e descarregado a p_2=5\\ \text{bar}. O processo é politrópico com expoente n=1,3. Devemos desprezar energia cinética e potencial e usar o modelo de gás ideal para o ar.
Perguntas explícitas: calcular o trabalho e o calor transferido por unidade de massa que passa pelo equipamento (em \mathrm{kJ/kg}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • p_1=1\\ \text{bar} (admissão)
  • T_1=20^\circ\text{C}=293,15\\ \text{K}
  • p_2=5\\ \text{bar} (descarga)
  • processo politrópico: p v^n= const com n=1,3
  • desprezar variações de energia cinética e potencial
  • ar modelo de gás ideal (usar constantes típicas do ar: R e c_p)

Passo 2

Vamos obter a temperatura final T_2. Para um gás ideal e processo politrópico (com p v^n= const) temos a relação entre temperaturas e pressões:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}.
Explicando essa fórmula (mini-aula): partimos de p v = R T (gás ideal) e p v^n= const. Da combinação obtemos T v^{\,n-1}= const, daí T_2/T_1=(v_1/v_2)^{\,n-1}. Como também p_2/p_1=(v_1/v_2)^{\,n}, eliminamos v e chegamos à relação anterior.
Agora aplicamos numericamente. Primeiro o expoente:
\frac{n-1}{n}=\frac{1,3-1}{1,3}=\frac{0,3}{1,3}\approx0,230769.
Logo
\frac{T_2}{T_1}=5^{0,230769}\approx1,4495.
Portanto
T_2= T_1\cdot 1,4495 = 293,15\cdot 1,4495 \approx 424,84\\ \text{K}.
A variação de temperatura é
\Delta T = T_2-T_1 \approx 424,84-293,15 = 131,69\\ \text{K}.

Passo 3

Agora calculamos o trabalho por unidade de massa. Para um processo politrópico (quase-estático) o trabalho realizado pelo sistema (isto é, trabalho realizado PELO gás) é
w_{\text{by}}=\int_{v_1}^{v_2} p\,dv.
Usando a dependência politrópica e a relação gás ideal pode-se mostrar (passo-a-passo derivação): colocando p=R T/v e substituindo T em função de v ou integrando p=C v^{-n}, chega-se à forma conveniente em termos de temperaturas:
w_{\text{by}}=\frac{R}{1-n}\,(T_2-T_1).
Comentário sobre sinais: nesta convenção w_{\text{by}} é positivo se o sistema entrega trabalho ao ambiente. Para um compressor o trabalho é realizado SOBRE o gás, portanto o valor numérico será negativo (trabalho por unidade de massa realizado pelo gás é negativo). O trabalho depositado no compressor (entrada de trabalho, ou trabalho sobre o gás) terá sinal oposto.
Vamos usar as constantes do ar (valores usuais):
R=0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)},\qquad c_p\approx1,005\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
Substituindo:
w_{\text{by}}=\frac{0,287}{1-1,3}\,(T_2-T_1)=\frac{0,287}{-0,3}\cdot 131,69.
Calculemos o fator:
\frac{0,287}{-0,3}=-0,956667\\ (\mathrm{kJ/(kg\,K)}).
Multiplicando:
w_{\text{by}}\approx -0,956667\cdot 131,69 \approx -126,00\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: w_{\text{by}}\approx -126,00\\ \mathrm{kJ/kg} significa que o gás não entrega trabalho; em vez disso, cerca de 126,00\\ \mathrm{kJ} por kg foram fornecidos ao gás (entrada de trabalho para o compressor = 126,00\\ \mathrm{kJ/kg}).

Passo 4

Agora aplicamos a primeira lei da termodinâmica para escoamento estacionário (por unidade de massa). Negligenciando variações de energia cinética e potencial:
q + w_{\text{by}} = h_2 - h_1,
onde q é o calor transferido POR unidade de massa (positivo se para o sistema) e h é a entalpia específica. Para gás ideal h=c_p T, então
h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)=c_p\,\Delta T.
Explicando: nesta equação usamos a mesma convenção de sinais de antes; para um compressor típico geralmente w_{\text{by}}<0 (trabalho sobre o gás) e o calor q pode ser positivo ou negativo dependendo se há perda de calor para o ambiente. Rearranjando para q:
q = c_p(T_2-T_1) - w_{\text{by}}.
Cálculo numérico: primeiro a variação de entalpia
\Delta h = c_p\,\Delta T = 1,005\cdot 131,69 \approx 132,35\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora substituímos w_{\text{by}}\approx -126,00\\ \mathrm{kJ/kg}:
q = 132,35 - (-126,00) = 132,35 + 126,00 = 258,35\\ \mathrm{kJ/kg}.
Mas atenção: essa expressão deu um valor grande e positivo porque usei a forma com w_{\text{by}} (trabalho feito pelo gás). Isso fez com que o sinal fosse somado. Para interpretar fisicamente num compressor devemos esclarecer a convenção mais usual pedida em problemas de máquinas: muitas vezes é pedido o trabalho recebido PELO compressor (ou seja, trabalho sobre o gás) e o calor transferido DO compressor para o ambiente (sinal negativo se perdido). Para evitar confusão, é melhor trabalhar com o trabalho de entrada (trabalho sobre o gás), definido como w_{\text{in}}=-w_{\text{by}} (positivo quando fornecido ao gás). Então:
w_{\text{in}} = -w_{\text{by}} \approx +126,00\\ \mathrm{kJ/kg},
e a energia balanceada fica
w_{\text{in}} + q = \Delta h \quad\Rightarrow\quad q = \Delta h - w_{\text{in}}.
Agora:
q = 132,35 - 126,00 = 6,35\\ \mathrm{kJ/kg}.
Significado físico: q\approx +6,35\\ \mathrm{kJ/kg} indica calor transferido para o ar (pequeno aquecimento por calor além do trabalho) — isto é, o ar ganhou 6,35\\ \mathrm{kJ} por kg por troca de calor além do aumento de entalpia causado pelo trabalho de compressão. (Se a questão esperasse o calor perdido pelo compressor para o ambiente, o sinal seria negativo; aqui estamos seguindo a convenção q>0 quando calor entra no sistema.)

Passo 5

Resumo numérico final com duas casas decimais e interpretação de sinais (convenções usadas):
  • Usei R=0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} e c_p=1,005\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
  • Temperaturas: T_1=293,15\\ \text{K}, T_2\approx424,84\\ \text{K}, \Delta T\approx131,69\\ \text{K}.
  • Trabalho realizado PELO gás (convenção termodinâmica): w_{\text{by}}\approx -126,00\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho recebido PELO compressor (trabalho sobre o gás, valor positivo): w_{\text{in}}=-w_{\text{by}}\approx +126,00\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor (positivo quando entra no sistema): q\approx +6,35\\ \mathrm{kJ/kg}.

Resposta

Trabalho (realizado pelo gás, convenção termodinâmica): -126,00\\ \mathrm{kJ/kg}
Calor (positivo se entra no sistema): +6,35\\ \mathrm{kJ/kg}

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