Um vetor unitário normal apontando da região 2\left(\mu=2 \mu_{0}\right) para a região 1\left(\mu=\mu_{0}\right) é \mathbf{a}_{n 21}=\left(6 \mathbf{a}_{x}+2 \mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z}\right) / 7. Se \mathbf{H}_{1}=10 \mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}+12 \mathbf{a}_{z} \mathrm{~A} / \mathrm{me} \mathbf{H}_{2}=\mathbf{H}_{2 x} \mathbf{a}_{x}-5 \mathbf{a}_{y}+4 \mathbf{a}_{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m}, determine:
(a) \mathbf{H}_{2 x};
(b) a densidade de corrente K na interface;
(c) os ângulos que \mathbf{B}_{1} e \mathbf{B}_{2} fazem com a normal à interface.
Resposta: (a) 5,833 ; (b) 4,86 \mathbf{a}_{x}-8,64 \mathbf{a}_{y}+3,95 \mathbf{a}_{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m}; (c) 76,27^{\circ}, 77,62^{\circ}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas regiões com permeabilidades \mu_1=\mu_0 (região 1) e \mu_2=2\mu_0 (região 2), separadas por uma interface cujo normal unitário apontando de 2 para 1 é
\hat n_{21}=\frac{6\,\mathbf{a}_x+2\,\mathbf{a}_y-3\,\mathbf{a}_z}{7}.
Os campos magnéticos são
\mathbf{H}_1=10\,\mathbf{a}_x+1\,\mathbf{a}_y+12\,\mathbf{a}_z e
\mathbf{H}_2=H_{2x}\,\mathbf{a}_x-5\,\mathbf{a}_y+4\,\mathbf{a}_z.
Precisamos achar
(a) H_{2x} usando a condição de contorno do componente normal de \mathbf{B},
(b) a densidade de corrente superficial \mathbf{K} pela descontinuidade tangencial de \mathbf{H},
(c) os ângulos que \mathbf{B}_1 e \mathbf{B}_2 fazem com \hat n_{21}.

Passo 2

A condição de contorno para o componente normal de \mathbf{B} é
\hat n_{21}\cdot\bigl(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1\bigr)=0,
onde \mathbf{B}_1=\mu_0\,\mathbf{H}_1 e \mathbf{B}_2=2\mu_0\,\mathbf{H}_2. Logo
\hat n_{21}\cdot\bigl(2\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,(\hat n_{21}\cdot\mathbf{H}_2) -(\hat n_{21}\cdot\mathbf{H}_1)=0.
Calculando
\hat n_{21}\cdot\mathbf{H}_1=(6\cdot10+2\cdot1-3\cdot12)/7=26/7,
e escrevendo \mathbf{H}_2\cdot\hat n_{21}=(6H_{2x}+2(-5)-3\cdot4)/7, obtemos
2\frac{6H_{2x}-10-12}{7}=\frac{26}{7} \quad\Longrightarrow\quad 6H_{2x}-22=13 \quad\Longrightarrow\quad H_{2x}=\frac{35}{6}\approx5{,}833.

Passo 3

A densidade de corrente superficial satisfaz
\mathbf{K} =\hat n_{21}\times(\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2).
Com H_{2x}=35/6 temos
\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2 =(10-\tfrac{35}{6})\mathbf{a}_x +(1-(-5))\mathbf{a}_y +(12-4)\mathbf{a}_z =\tfrac{25}{6}\,\mathbf{a}_x+6\,\mathbf{a}_y+8\,\mathbf{a}_z.
Então
\mathbf{K} =\begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z\\\\ 6/7 & 2/7 & -3/7\\\\ 25/6 & 6 & 8 \end{vmatrix} \approx4{,}86\,\mathbf{a}_x-8{,}64\,\mathbf{a}_y+3{,}95\,\mathbf{a}_z \quad\text{A/m}.

Passo 4

Os ângulos \theta_i entre \mathbf{B}_i e \hat n_{21} vêm de
\cos\theta_i =\frac{\bigl|\mathbf{B}_i\cdot\hat n_{21}\bigr|}{|\mathbf{B}_i|}.
Como \mathbf{B}_i=\mu_i\mathbf{H}_i e \mu_i só escala, basta usar \mathbf{H}_i. Para \mathbf{H}_1:
\hat n_{21}\cdot\mathbf{H}_1=26/7,
|\mathbf{H}_1|=\sqrt{10^2+1^2+12^2}=\sqrt{245}\approx15{,}652,
\theta_1=\operatorname{arccos}\!\bigl((26/7)/15{,}652\bigr)\approx76{,}27^\circ.
Para \mathbf{H}_2:
\hat n_{21}\cdot\mathbf{H}_2=(35-10-12)/7=13/7,
|\mathbf{H}_2|=\sqrt{(35/6)^2+(-5)^2+4^2}\approx8{,}66,
\theta_2=\operatorname{arccos}\!\bigl((13/7)/8{,}66\bigr)\approx77{,}62^\circ.

Resposta

(a) H_{2x}=5{,}833.
(b) \displaystyle\mathbf{K}=4{,}86\,\mathbf{a}_x-8{,}64\,\mathbf{a}_y+3{,}95\,\mathbf{a}_z A/m.
(c) \theta_1\approx76{,}27^\circ,\quad \theta_2\approx77{,}62^\circ.

Exercícios relacionados