Uma espira de raio 3 m está localizada sobre o plano
, tal que seu centro está em
. Se a espira for percorrida por 10 A ao longo de
, determine
em:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (listas claras, com os números que vamos usar):
- Raio da espira:
. - Espira centrada em
e situada no plano . - Corrente que percorre a espira:
no sentido de (isto é, no sentido de aumento do ângulo ao longo da espira). - Ponto onde se pede o campo:
, ou seja, no eixo a uma distância do centro da espira.
O que o enunciado pede:
- Determinar o vetor
no ponto .
Passo 2
Princípio e fórmulas que vamos usar (aula rápida e sem pular etapas).
- A lei de Biot–Savart dá o campo magnético
produzido por uma corrente estacionária :
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ), -
é um elemento de comprimento da espira apontando no sentido da corrente, -
é o vetor que vai do elemento de corrente (posição ) até o ponto de observação (posição ), -
. - O vetor
está relacionado a por
no vácuo (ou ar).
Explicação do porquê usar Biot–Savart: é a expressão padrão para calcular
de uma corrente distribuída e, por simetria da espira, o integral reduz-se a uma expressão simples no eixo.
Passo 3
Modelagem do elemento de corrente e do vetor posição (coordenadas cilíndricas).
- Em coordenadas cilíndricas tomamos um elemento na espira na posição
(para ângulo arbitrário ). - O elemento de comprimento da espira é
pois ao variar
um pouco o arco tem comprimento
na direção azimutal
.
- O ponto de observação é
com . Logo
- O módulo de
é
(Observe que
é independente de
porque o ponto está no eixo e todos os elementos estão à mesma distância do ponto.)
Passo 4
Cálculo do produto vetorial que aparece em Biot–Savart e uso da simetria.
- Primeiro calculamos
:
Usando as regras cíclicas de produto vetorial para os versores cilíndricos:
obtemos
- Agora substituímos na integral de Biot–Savart. Note que o termo com
depende de através de e, ao integrar de a , esses componentes radiais se cancelam por simetria (a contribuição radial de todos os elementos soma zero). Sobram apenas as componentes na direção , que são iguais para todos os elementos. - Assim o integral fica (usando
, que é constante na integração):
Passo 5
Expressão final para
e para
.
- Substituindo no Biot–Savart:
- Como
no vácuo, obtemos a fórmula conveniente:
Explicação do sinal/direção: o resultado tem direção
positiva porque a corrente está no sentido de
(isto é, sentido de aumento de
). Visto do lado positivo do eixo
esse sentido corresponde a corrente no sentido anti-horário, e pela regra da mão direita o campo no eixo é dirigido para
.
Passo 6
Substituição numérica com os valores dados.
- Valores:
, , . Primeiro calcule :
- Então
- Agora calcule o valor de
: