Uma espira de raio 3 m está localizada sobre o plano z=0 \mathrm{~m}, tal que seu centro está em (0,0,0) \mathrm{m}. Se a espira for percorrida por 10 A ao longo de \hat{a}_{\varphi}, determine \vec{H} em:
(0,0,4) \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (listas claras, com os números que vamos usar):
  • Raio da espira: a=3\\ \mathrm{m}.
  • Espira centrada em (0,0,0) e situada no plano z=0.
  • Corrente que percorre a espira: I=10\\ \mathrm{A} no sentido de \hat{a}_{\varphi} (isto é, no sentido de aumento do ângulo \varphi ao longo da espira).
  • Ponto onde se pede o campo: (0,0,4)\\ \mathrm{m}, ou seja, no eixo z a uma distância z=4\\ \mathrm{m} do centro da espira.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o vetor \vec{H} no ponto (0,0,4)\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Princípio e fórmulas que vamos usar (aula rápida e sem pular etapas).
  • A lei de Biot–Savart dá o campo magnético \vec{B} produzido por uma corrente estacionária I:
\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\,I\int \frac{d\vec{l}'\times \vec{R}}{R^{3}},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}),
  • d\vec{l}' é um elemento de comprimento da espira apontando no sentido da corrente,
  • \vec{R}=\vec{r}-\vec{r}' é o vetor que vai do elemento de corrente (posição \vec{r}') até o ponto de observação (posição \vec{r}),
  • R=|\vec{R}|.
  • O vetor \vec{H} está relacionado a \vec{B} por
\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}
no vácuo (ou ar).
Explicação do porquê usar Biot–Savart: é a expressão padrão para calcular \vec{B} de uma corrente distribuída e, por simetria da espira, o integral reduz-se a uma expressão simples no eixo.

Passo 3

Modelagem do elemento de corrente e do vetor posição (coordenadas cilíndricas).
  • Em coordenadas cilíndricas tomamos um elemento na espira na posição \vec{r}'=a\,\hat{a}_{\rho} (para ângulo arbitrário \varphi).
  • O elemento de comprimento da espira é
d\vec{l}'=a\,d\varphi\,\hat{a}_{\varphi},
pois ao variar \varphi um pouco o arco tem comprimento a\,d\varphi na direção azimutal \hat{a}_{\varphi}.
  • O ponto de observação é \vec{r}=z\,\hat{a}_z com z=4\\ \mathrm{m}. Logo
\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}'=z\,\hat{a}_z - a\,\hat{a}_{\rho}.
  • O módulo de \vec{R} é
R=\sqrt{a^{2}+z^{2}}.
(Observe que R é independente de \varphi porque o ponto está no eixo e todos os elementos estão à mesma distância do ponto.)

Passo 4

Cálculo do produto vetorial que aparece em Biot–Savart e uso da simetria.
  • Primeiro calculamos d\vec{l}'\times \vec{R}:
d\vec{l}'\times \vec{R}=(a\,d\varphi\,\hat{a}_{\varphi})\times(z\,\hat{a}_z - a\,\hat{a}_{\rho}) = a z\,d\varphi\,(\hat{a}_{\varphi}\times\hat{a}_z) - a^{2}d\varphi\,(\hat{a}_{\varphi}\times\hat{a}_{\rho}).
Usando as regras cíclicas de produto vetorial para os versores cilíndricos:
\hat{a}_{\varphi}\times\hat{a}_z=\hat{a}_{\rho},\qquad \hat{a}_{\varphi}\times\hat{a}_{\rho}=-\hat{a}_z,
obtemos
d\vec{l}'\times \vec{R}=a z\,d\varphi\,\hat{a}_{\rho} + a^{2}d\varphi\,\hat{a}_z.
  • Agora substituímos na integral de Biot–Savart. Note que o termo com \hat{a}_{\rho} depende de \varphi através de \hat{a}_{\rho} e, ao integrar \varphi de 0 a 2\pi, esses componentes radiais se cancelam por simetria (a contribuição radial de todos os elementos soma zero). Sobram apenas as componentes na direção \hat{a}_z, que são iguais para todos os elementos.
  • Assim o integral fica (usando R^{3}=(a^{2}+z^{2})^{3/2}, que é constante na integração):
\int_0^{2\pi}\frac{d\vec{l}'\times \vec{R}}{R^{3}} =\int_0^{2\pi}\frac{a^{2}d\varphi\,\hat{a}_z}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}} =\frac{a^{2}(2\pi)}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{a}_z.

Passo 5

Expressão final para \vec{B} e para \vec{H}.
  • Substituindo no Biot–Savart:
\vec{B}(0,0,z)=\frac{\mu_0}{4\pi}\,I\cdot\frac{a^{2}(2\pi)}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{a}_z =\frac{\mu_0 I a^{2}}{2(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{a}_z.
  • Como \vec{H}=\vec{B}/\mu_0 no vácuo, obtemos a fórmula conveniente:
\vec{H}(0,0,z)=\frac{I a^{2}}{2(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{a}_z.
Explicação do sinal/direção: o resultado tem direção \hat{a}_z positiva porque a corrente está no sentido de \hat{a}_{\varphi} (isto é, sentido de aumento de \varphi). Visto do lado positivo do eixo z esse sentido corresponde a corrente no sentido anti-horário, e pela regra da mão direita o campo no eixo é dirigido para +z.

Passo 6

Substituição numérica com os valores dados.
  • Valores: I=10\\ \mathrm{A}, a=3\\ \mathrm{m}, z=4\\ \mathrm{m}. Primeiro calcule a^{2}+z^{2}:
a^{2}+z^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25.
  • Então
(a^{2}+z^{2})^{3/2}=25^{3/2}=(\sqrt{25})^{3}=5^{3}=125.
  • Agora calcule o valor de \vec{H}:
\vec{H}(0,0,4)=\frac{I a^{2}}{2(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{a}_z =\frac{10\cdot 9}{2\cdot 125}\,\hat{a}_z =\frac{90}{250}\,\hat{a}_z=0,36\,\hat{a}_z\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

\vec{H}(0,0,4)=0,36\,\hat{a}_z\\ \mathrm{A/m}

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