O estado inicial de 0,1 mol de um gás ideal monoatômico é p0=32 Pa, V0=8 m^3. O estado final é P1=1 P a e V1=64 m^3. Suponha que o gás passe por um processo ao longo de uma linha reta ligando esses dois pontos. A equação dessa reta é P=a V+b, onde a=-31 / 56 e b=255 / 7. Com base nas informações fornecidas, responda as questões a seguir:
Considere que esses dois pontos também são unidos por uma adiabática, formando um ciclo fechado com a linha reta. O sentido do cilco é saindo do ponto 0 e indo para o ponto 1 através da linha reta e voltando para o ponto incial pela adiabática, calcule:
O trabalho realizado pelo ciclo. ( 10 % )

Passo 1

Beleza, então o que a questão pede? A gente tem 0,1 mol de um gás ideal monoatômico que vai do estado inicial
  • p₀ = 32 Pa, V₀ = 8 m³
    até o estado final
  • p₁ = 1 Pa, V₁ = 64 m³
    por um processo retilíneo no diagrama PV (P = aV + b, com a = –31/56 e b = 255/7), e depois volta ao ponto inicial por uma adiabática (PV^γ = constante, γ = 5/3). A pergunta é: qual o trabalho realizado pelo ciclo fechado?
    Conteúdo: termodinâmica de gases ideais, cálculo de trabalho como ∫P dV, processos retilíneos e adiabáticos. Vamos precisar montar duas integrais de P(V) dV e subtrair para achar a área fechada.

Passo 2

Calcular o trabalho no trecho retilíneo (0→1).
A equação é P(V) = aV + b, então
W_reta = ∫_{V₀}^{V₁} (aV + b) dV
= a·(V₁² – V₀²)/2 + b·(V₁ – V₀).
Substituindo a = –31/56, b = 255/7, V₀ = 8, V₁ = 64:
‐ a/2·(64² – 8²) = (–31/56)/2·(4096 – 64) = –1116 J
‐ b·(64 – 8) = (255/7)·56 = 2040 J
Logo W_reta = –1116 + 2040 = 924 J.

Passo 3

Calcular o trabalho no trecho adiabático (1→0).
Para adiabática: PV^γ = C. No ponto 0: C = p₀ V₀^γ = 32·8^{5/3}.
Então P(V) = C V^(–γ). O trabalho de 1→0 é
W_ad = ∫_{V₁}^{V₀} C V^{–γ} dV
= –∫_{V₀}^{V₁} C V^{–γ} dV
= –C·[V(1–γ)/(1–γ)]_{V₀}{V₁}.
Como γ = 5/3, 1–γ = –2/3, temos
∫_{V₀}^{V₁} V^{–5/3} dV = (V₁^{–2/3} – V₀^{–2/3})/(–2/3) = (3/2)(V₀^{–2/3} – V₁^{–2/3}).
Logo, em módulo,
W_ad (de V₀→V₁) = C·(3/2)(V₀^{–2/3} – V₁^{–2/3}).
Substituindo C = 32·8^{5/3} e calculando 8{5/3}/64{2/3} = 2, dá
W_ad = (3/2)·32·(8 – 2) = 48·6 = 288 J.
Como o caminho efetivo é 1→0, o trabalho que aparece na integral de ciclo fica –288 J, mas como queremos a área positiva suprimimos o sinal e depois subtraímos (veja passo 4).

Passo 4

Montamos o trabalho total do ciclo (0→1 pela reta e 1→0 pela adiabática):
W_ciclo = ∫₀¹ P_reta dV + ∫₁⁰ P_ad dV
= W_reta – W_ad
= 924 J – 288 J
= 636 J.

Resposta

O trabalho realizado pelo ciclo fechado é 636 J.

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