PV. 4 Estamos planejando trocar nosso reator de mistura por um com o dobro de volume. Para a mesma alimentação aquosa ( 10 \mathrm{~mol} / \mathrm{I} de A ) e a mesma taxa de alimentação, encontre a nova conversão. A cinética da reação é dada por:
\begin{gathered} A \xrightarrow{k} R \\\\ -r_{A}=k C_{A}^{1,5} \end{gathered}
e apresenta uma conversão de 70 \%.

Passo 1

O enunciado descreve um reator de mistura contínuo (CSTR) onde ocorre a reação de ordem 1{,}5 A \xrightarrow{k} R com taxa de consumo
-r_{A}=k\,C_{A}^{1,5}.
A alimentação tem concentração \,C_{A0}=10,mol/L e, no reator original de volume V, obtém-se conversão X_{1}=0{,}70. Queremos aumentar o volume para 2V, mantendo k, \,C_{A0} e a mesma vazão volumétrica, e calcular a nova conversão X_{2}. Para isso vamos usar a equação de projeto do CSTR.

Passo 2

No CSTR a equação de projeto é
V = \frac{F_{A0}\,X}{-r_{A}},
onde F_{A0}=C_{A0}\,v_{0}. Definindo o tempo de residência
\tau = \frac{V}{v_{0}},
temos
\tau = \frac{C_{A0}\,v_{0}\,X}{v_{0}\,k\,[C_{A0}(1-X)]^{1.5}} = \frac{X}{k\,C_{A0}^{0.5}\,(1-X)^{1.5}}.

Passo 3

Para a conversão inicial X_{1}=0{,}70, definimos
K \equiv k\,C_{A0}^{0.5}\,\tau = \frac{X_{1}}{(1-X_{1})^{1.5}} = \frac{0{,}70}{0{,}30^{1.5}} \approx 4{,}26.

Passo 4

Se dobramos o volume, o tempo de residência dobra: \tau_{2}=2\tau. Assim
k\,C_{A0}^{0.5}\,\tau_{2} =2\,(k\,C_{A0}^{0.5}\,\tau) =2\,K \approx 8{,}52.
Mas por definição isso também deve valer
\frac{X_{2}}{(1-X_{2})^{1.5}}=8{,}52.

Passo 5

Para achar X_{2} resolvemos numericamente
\frac{X_{2}}{(1-X_{2})^{1.5}}=8{,}52.
Fazendo y=1-X_{2} obtemos
1-y=8{,}52\,y^{1.5},
cuja solução é y\approx0{,}2053. Logo
X_{2}=1-y\approx0{,}7947.

Resposta

A nova conversão é aproximadamente 79{,}5\%.

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