Estime a densidade da amônia como líquido saturado a 323 K usando a equação de Rackett. Compare a densidade obtida pela equação de Rackett com a densidade estimada, nas mesmas condições, pela equação de van der Waals. Na temperatura de 323 K a pressão de saturação da amônia é de
. A temperatura
, pressão
e fator de compressibilidade
críticos da amônia são, respectivamente,
bar e 0,242 . A equação de Rackett é dada por
onde
é o volume molar de líquido saturado,
é o volume molar crítico e
é a temperatura reduzida, sendo
a temperatura.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: estimar a densidade do amoníaco como líquido saturado a
usando a equação de Rackett e comparar essa densidade com a estimada, nas mesmas condições, pela equação de van der Waals.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
A equação de Rackett dada é
onde
é o volume molar do líquido saturado,
é o volume molar crítico e
.
Além disso precisarei da massa molar do amoníaco :
Além disso precisarei da massa molar do amoníaco
Passo 2
Calcular
(volume molar crítico) a partir da relação do fator de compressibilidade crítico:
Vou usar
. Substituindo:
Calculo passo a passo:
Portanto
Passo 3
Usar a equação de Rackett para obter o volume molar do líquido saturado. Primeiro calculo a temperatura reduzida:
Calculo
. Elevar essa diferença à potência
:
Agora avalio a potência de
:
Finalmente:
Converter para densidade (massa molar dividida pelo volume molar):
Interpretação rápida: a equação de Rackett deu um volume molar de cerca de
e densidade
.
Passo 4
Agora a estimativa pela equação de van der Waals. Primeiro lembro a forma e as constantes a e b em função das constantes críticas (para o van der Waals clássico):
e as relações críticas
Vou calcular
e
usando
e
.
Calcular
:
Calcular
:
(estes valores foram obtidos pela substituição direta e avaliação numérica mostrada; unidades asseguradas pelo uso de
em SI.)
Passo 5
Determinar o volume molar líquido resolvendo a equação de van der Waals para
a
e
. Reescrevo como um polinômio cúbico em
. Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Substituo os números (todos em SI):
Avaliações numéricas:
Logo o cúbico é
Passo 6
Resolver o cúbico numericamente para obter a raiz líquida (o valor de
pequeno, do tipo
a
). Aqui usei uma busca por tentativa/interpolação (método simples, suficiente para prova sem calculadora sofisticada): avaliei a função para alguns
e localizei o sinal de troca, então refinei. Mostro alguns pontos de avaliação (apenas aritmética simples):
- Para
(valor da Rackett) a função ficou negativa (aprox. ). - Para
a função ficou ligeiramente negativa (aprox. ). - Para
a função ficou ligeiramente positiva (aprox. ).
Interpolando entre
e
obtive a raiz:
(Esse processo é um método numérico simples de afunilamento; numa prova isso é aceitável se mostrado o raciocínio e algumas avaliações.)
Converter em densidade:
Passo 7
Comparação e comentário físico-didático:
- Resultado Rackett:
. - Resultado van der Waals:
.
Calculo da diferença percentual relativo ao valor da Rackett:
Interpretação: a equação de van der Waals, na sua forma simples, tende a superestimar o volume (logo subestimar a densidade) do líquido saturado — isso é esperado: vdW é um modelo muito aproximado e não é muito preciso para propriedades de líquidos próximos à saturação. A equação de Rackett foi desenvolvida justamente como uma correlação mais prática e geralmente dá melhores estimativas para volumes molares de líquidos saturados. Portanto, faz sentido que os dois métodos difiram substancialmente; a Rackett costuma ser mais confiável para densidade de líquidos saturados.
Força de ânimo: você já chegou até aqui com calma — a parte mais importante em prova é saber aplicar as fórmulas, cuidar das unidades e justificar os passos. Você consegue!
Resposta
\rho_{Rackett}\approx 371{,}6\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_{vdW}\approx 188{,}5\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_{vdW}\approx 188{,}5\ \mathrm{kg/m^{3}}