Estime a densidade da amônia como líquido saturado a 323 K usando a equação de Rackett. Compare a densidade obtida pela equação de Rackett com a densidade estimada, nas mesmas condições, pela equação de van der Waals. Na temperatura de 323 K a pressão de saturação da amônia é de 2,1 \mathrm{MPa}. A temperatura \left(T_{c}\right), pressão \left(P_{c}\right) e fator de compressibilidade \left(Z_{c}\right) críticos da amônia são, respectivamente, 405,7 \mathrm{~K}, 72,47 bar e 0,242 . A equação de Rackett é dada por
V^{L, s a t}=V_{c} Z_{c}{ }^{\left(1-T_{r}\right)^{2 / 7}},
onde V^{L, s a t} é o volume molar de líquido saturado, V_{c} é o volume molar crítico e T_{r}= T / T_{c} é a temperatura reduzida, sendo T a temperatura.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: estimar a densidade do amoníaco como líquido saturado a T=323\\ \mathrm{K} usando a equação de Rackett e comparar essa densidade com a estimada, nas mesmas condições, pela equação de van der Waals.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
T=323\\ \mathrm{K},
P^{\text{sat}}=2,1\\ \mathrm{MPa},
T_c=405,7\\ \mathrm{K},
P_c=72,47\\ \mathrm{bar}=7,247\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
Z_c=0,242.
A equação de Rackett dada é
V^{L,\text{sat}}=V_c\,Z_c^{(1-T_r)^{2/7}},
onde V^{L,\text{sat}} é o volume molar do líquido saturado, V_c é o volume molar crítico e T_r=T/T_c.
Além disso precisarei da massa molar do amoníaco \mathrm{NH_3}: \;M=14,007+3\times1,008=17,031\\ \mathrm{g/mol}=0,017031\\ \mathrm{kg/mol}.

Passo 2

Calcular V_c (volume molar crítico) a partir da relação do fator de compressibilidade crítico:
Z_c=\frac{P_c V_c}{R T_c}\quad\Longrightarrow\quad V_c=\frac{Z_c R T_c}{P_c}.
Vou usar R=8,314462618\\ \mathrm{J\;mol^{-1}K^{-1}}. Substituindo:
V_c=\frac{0,242\cdot 8,314462618\cdot 405,7}{7{,}247\times10^{6}}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
Calculo passo a passo:
R T_c = 8{,}314462618\cdot 405{,}7 = 3\,373{,}177484\\ \mathrm{J/mol},
Z_c R T_c = 0{,}242\cdot 3\,373{,}177484 = 816{,}309\\ (\text{aprox.}),
V_c=\frac{816{,}309}{7{,}247\times10^{6}}=1{,}1268\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
Portanto
V_c\approx 1{,}1268\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}\quad(=112{,}68\\ \mathrm{cm^{3}/mol}).

Passo 3

Usar a equação de Rackett para obter o volume molar do líquido saturado. Primeiro calculo a temperatura reduzida:
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{323}{405{,}7}=0{,}7967\\ (\text{aprox.}).
Calculo 1-T_r=0{,}2033. Elevar essa diferença à potência 2/7:
(1-T_r)^{2/7}=0{,}2033^{2/7}=0{,}2033^{0{,}285714\ldots}\approx 0{,}6340.
Agora avalio a potência de Z_c:
Z_c^{(1-T_r)^{2/7}}=0{,}242^{0{,}6340}\approx 0{,}407.
Finalmente:
V^{L,\text{sat}}=V_c\cdot 0{,}407 = 1{,}1268\times10^{-4}\cdot 0{,}407
V^{L,\text{sat}}\approx 4{,}586\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
Converter para densidade (massa molar dividida pelo volume molar):
\rho_{\text{Rackett}}=\frac{M}{V^{L,\text{sat}}}=\frac{0{,}017031}{4{,}586\times10^{-5}}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
\rho_{\text{Rackett}}\approx 371{,}6\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Interpretação rápida: a equação de Rackett deu um volume molar de cerca de 45{,}9\\ \mathrm{cm^{3}/mol} e densidade \approx 372\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 4

Agora a estimativa pela equação de van der Waals. Primeiro lembro a forma e as constantes a e b em função das constantes críticas (para o van der Waals clássico):
P=\frac{R T}{V-b}-\frac{a}{V^{2}},
e as relações críticas
a=\frac{27 R^{2} T_c^{2}}{64 P_c},\qquad b=\frac{R T_c}{8 P_c}.
Vou calcular a e b usando P_c=7{,}247\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} e T_c=405{,}7\\ \mathrm{K}.
Calcular b:
b=\frac{8{,}314462618\cdot 405{,}7}{8\cdot 7{,}247\times10^{6}} =\frac{3\,373{,}177484}{57{,}976\times10^{6}} \approx 5{,}819\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
Calcular a:
a=\frac{27\,(8{,}314462618)^{2}\,(405{,}7)^{2}}{64\cdot 7{,}247\times10^{6}} \approx 0{,}663\\ \mathrm{Pa\;m^{6}/mol^{2}}.
(estes valores foram obtidos pela substituição direta e avaliação numérica mostrada; unidades asseguradas pelo uso de R em SI.)

Passo 5

Determinar o volume molar líquido resolvendo a equação de van der Waals para V a T=323\\ \mathrm{K} e P=2{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}. Reescrevo como um polinômio cúbico em V. Multiplicando ambos os lados por V^{2}(V-b):
P(V^{3}-bV^{2})=R T V^{2}-a(V-b).
Rearranjando:
P V^{3} +(-P b - R T)V^{2}+ a V - a b = 0.
Substituo os números (todos em SI):
P=2{,}1\times10^{6},\quad -P b - R T = -(2{,}1\times10^{6}\cdot5{,}819\times10^{-5})-(8{,}314462618\cdot323).
Avaliações numéricas:
P b \approx 122{,}20,\qquad R T \approx 2\,685{,}27,
\text{coeficiente de }V^{2}=-(122{,}20+2\,685{,}27)=-2\,807{,}47,
a\approx 0{,}663,\qquad a b \approx 3{,}855\times10^{-5}.
Logo o cúbico é
2{,}1\times10^{6} V^{3} - 2\,807{,}47 V^{2} + 0{,}663 V - 3{,}855\times10^{-5}=0.

Passo 6

Resolver o cúbico numericamente para obter a raiz líquida (o valor de V pequeno, do tipo 10^{-5} a 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/mol}). Aqui usei uma busca por tentativa/interpolação (método simples, suficiente para prova sem calculadora sofisticada): avaliei a função para alguns V e localizei o sinal de troca, então refinei. Mostro alguns pontos de avaliação (apenas aritmética simples):
  • Para V=4{,}586\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol} (valor da Rackett) a função ficou negativa (aprox. -1{,}39\times10^{-5}).
  • Para V=9{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol} a função ficou ligeiramente negativa (aprox. -1{,}30\times10^{-7}).
  • Para V=9{,}10\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol} a função ficou ligeiramente positiva (aprox. +1{,}12\times10^{-7}).
Interpolando entre 9{,}00\times10^{-5} e 9{,}10\times10^{-5} obtive a raiz:
V_{\text{vdW}} \approx 9{,}04\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
(Esse processo é um método numérico simples de afunilamento; numa prova isso é aceitável se mostrado o raciocínio e algumas avaliações.)
Converter em densidade:
\rho_{\text{vdW}}=\frac{M}{V_{\text{vdW}}}=\frac{0{,}017031}{9{,}04\times10^{-5}}\\ \mathrm{kg/m^{3}} \approx 188{,}5\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 7

Comparação e comentário físico-didático:
  • Resultado Rackett: \rho_{\text{Rackett}}\approx 371{,}6\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Resultado van der Waals: \rho_{\text{vdW}}\approx 188{,}5\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Calculo da diferença percentual relativo ao valor da Rackett:
\text{diferença percentual}=\frac{\rho_{\text{Rackett}}-\rho_{\text{vdW}}}{\rho_{\text{Rackett}}}\times100\%\approx \frac{371{,}6-188{,}5}{371{,}6}\times100\%\approx 49{,}3\%.ç
Interpretação: a equação de van der Waals, na sua forma simples, tende a superestimar o volume (logo subestimar a densidade) do líquido saturado — isso é esperado: vdW é um modelo muito aproximado e não é muito preciso para propriedades de líquidos próximos à saturação. A equação de Rackett foi desenvolvida justamente como uma correlação mais prática e geralmente dá melhores estimativas para volumes molares de líquidos saturados. Portanto, faz sentido que os dois métodos difiram substancialmente; a Rackett costuma ser mais confiável para densidade de líquidos saturados.
Força de ânimo: você já chegou até aqui com calma — a parte mais importante em prova é saber aplicar as fórmulas, cuidar das unidades e justificar os passos. Você consegue!

Resposta

\rho_{Rackett}\approx 371{,}6\ \mathrm{kg/m^{3}}
\rho_{vdW}\approx 188{,}5\ \mathrm{kg/m^{3}}

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