Estime a densidade da amônia como líquido saturado a 323 K usando a equação de Rackett. Compare a densidade obtida pela equação de Rackett com a densidade estimada, nas mesmas condições, pela equação de van der Waals. Na temperatura de 323 K a pressão de saturação da amônia é de
. A temperatura
, pressão
e fator de compressibilidade
críticos da amônia são, respectivamente,
bar e 0,242 . A equação de Rackett é dada por
onde
é o volume molar de líquido saturado,
é o volume molar crítico e
é a temperatura reduzida, sendo
a temperatura.
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.
- O enunciado pede: estimar a densidade da amônia como líquido saturado a
usando a equação de Rackett e comparar com a densidade estimada pela equação de van der Waals nas mesmas condições (a pressão de saturação a é dada). - Dados fornecidos:
- Constantes e conversões que usarei (unidades L, bar, K, mol):
- Resultado que quero produzir: densidade do líquido saturado
em obtida por (i) equação de Rackett e (ii) equação de van der Waals.
Passo 2
Cálculo do volume molar crítico
a partir de
.
- Relação definidora do fator de compressibilidade crítico:
Despejando : - Substituindo os valores (atenção às unidades:
em bar, em L·bar·K{-1}·mol{-1}): - Calculemos passo a passo:
- Conclusão:
(ou ).
Passo 3
Estimativa do volume molar de líquido saturado pela equação de Rackett e conversão para densidade.
- A equação de Rackett fornecida é
onde . - Calcule
: portanto - Calcule o expoente:
(explicação curta: calculei o logaritmo e reexponenciei; isso é para obter o valor numérico do expoente real). - Agora elevo
a esse expoente: - Volume molar líquido estimado:
- Converter para densidade (massa molar dividida pelo volume molar): primeiro em g·L^{-1} e depois em kg·m^{-3}:
Como , temos
Passo 4
Montagem da equação de van der Waals e determinação dos parâmetros
e
a partir de
.
- A equação de van der Waals (para a pressão) é
onde e são constantes características da substância. - As relações críticas para o modelo de van der Waals são (padrão):
(Derivação curta: são as condições de ponto crítico aplicadas à isoterma van der Waals; não preciso refazer aqui, apenas uso as fórmulas.) - Calcule
: - Calcule
:
Passo 5
Resolver numericamente a equação de van der Waals para o volume molar líquido à temperatura
e
.
- Objetivo: encontrar
pequeno (raiz líquida) tal que - Observação sobre comportamento: para líquidos,
costuma estar próximo de (mas sempre no modelo). A equação é cúbica em e pode ter três raízes reais (vapor, líquido, raiz intermediária). Vou usar avaliação pontual e interpolação para encontrar a raiz líquida com precisão adequada. - Calcule alguns valores de
para estimar intervalo onde a raiz líquida está: - Para
:
- Para
- Para
:
- Para
:
- Interpolando linearmente entre
(onde ) e (onde ): (isso é suficiente para obter densidade com precisão prática.) - Conclusão: volume molar líquido pela van der Waals
.
Passo 6
Converter o volume molar da van der Waals em densidade e comparar resultados.
- Densidade via van der Waals:
- Comparação qualitativa:
- Rackett:
. - van der Waals:
.
- Rackett:
- Interpretação curta (didática): a equação de Rackett é calibrada empiricamente para líquidos saturados e costuma dar densidades líquidas reais razoáveis; a van der Waals é um modelo cúbico simplificado que tende a superestimar
e, neste caso, prediz um volume molar líquido maior (portanto densidade menor) que o observado realisticamente. É por isso que os valores diferem bastante.