Estime V^{R}, H^{R} e S^{R} para um dos itens a seguir utilizando correlações generalizadas apropriadas:
Etilbenzeno a 620 K e 20 bar.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que vou usar (peguei estes dados em tabelas de propriedades típicas — ex.: NIST; uso valores arredondados e aviso que os resultados serão estimados):
  • Pede estimar as funções residuais molares V^{R}, H^{R} e S^{R} para etilbenzeno nas condições T=620\\ \mathrm{K} e P=20\\ \mathrm{bar}.
  • Dados termodinâmicos usados (valores tabulados, arredondados):
    • temperatura crítica \;T_c = 617{,}9\\ \mathrm{K};
    • pressão crítica \;P_c = 33{,}4\\ \mathrm{bar};
    • fator acêntrico \;\omega = 0{,}345.
  • Constante universal dos gases: \;R = 8{,}3144621\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Observação: não peço mais informações — escolhi uma correlação generalizada apropriada (equação cúbica Peng–Robinson) para estimar as propriedades residuais, visto que o método de estados correspondentes / EOS cúbica é padrão para esse tipo de estimativa em condições supercríticas/altas pressões.

Passo 2

Por que usar a equação de Peng–Robinson (PR) e resumo do procedimento.
  • Motivação: PR é uma equação cúbica que usa T_c,P_c,\omega para estimar o comportamento do fluido real; é adequada para estimativas de Z, volumes e funções de excesso/residuais em pressões moderadas/altas.
  • Plano passo a passo:
    1. Calcular os parâmetros da PR: a_c, b, fator de correção \alpha(T) e a(T)=a_c\alpha.
    2. Montar os parâmetros adimensionais A e B usados no polinômio cúbico em Z.
    3. Resolver numérica/iterativamente o cúbico para obter o fator de compressibilidade Z na condição dada.
    4. Calcular V^{R}=(Z-1)RT/P.
    5. Usar fórmulas padrão de funções residuais para PR para obter H^{R} e G^{R}; então S^{R}=(H^{R}-G^{R})/T.
  • Vou explicar cada fórmula e o significado de cada variável quando usá-las.

Passo 3

Parâmetros da Peng–Robinson — definições e cálculo numérico.
  • Fórmulas (explico variáveis):
    • \;a_c = 0{,}45724\;\dfrac{R^2 T_c^2}{P_c}. Aqui a_c tem unidades de \mathrm{Pa\;m^6/mol^2}, P_c em Pa.
    • \;b = 0{,}07780\;\dfrac{R T_c}{P_c}. b tem unidades \mathrm{m^3/mol}.
    • A correção térmica \alpha(T) (Soave) é \alpha(T)=\Big(1+k\big(1-\sqrt{T/T_c}\big)\Big)^2, \qquad k = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^2.
    • Finalmente a(T)=a_c\,\alpha(T).
  • Conversões e cálculos numéricos (passo a passo):
    • Converter pressões para Pa: \;P=20\\ \mathrm{bar}=2{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, \;P_c=33{,}4\\ \mathrm{bar}=3{,}34\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    • Calcular a_c: a_c = 0{,}45724\;\frac{(8{,}3144621)^2\,(617{,}9)^2}{3{,}34\times10^{6}} \approx 3{,}617\\ \text{(SI)}.
    • Calcular b: b = 0{,}07780\;\frac{8{,}3144621\cdot617{,}9}{3{,}34\times10^{6}} \approx 1{,}197\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/mol}.
    • Calcular k e \alpha: k \approx 0{,}37464 + 1{,}54226(0{,}345)-0{,}26992(0{,}345)^2 \approx 0{,}8746,
T/T_c = \frac{620}{617{,}9}\approx 1{,}0034,\quad \sqrt{T/T_c}\approx 1{,}0017,
\alpha \approx (1+0{,}8746\,(1-1{,}0017))^2 \approx 0{,}99703.
  • Portanto a(T)=a_c\alpha\approx 3{,}6069\\ \text{(SI)}.

Passo 4

Formas adimensionais A e B e solução do cúbico para Z.
  • Definições: A=\dfrac{a(T)\,P}{R^2 T^2},\qquad B=\dfrac{b\,P}{R T}.Essas grandezas são adimensionais e aparecem no polinômio cúbico da PR.
  • Cálculo numérico:
    • R T = 8{,}3144621\cdot620 \approx 5{,}154{,}97\\ \mathrm{J/mol}.
    • B = \dfrac{1{,}197\times10^{-4}\cdot 2{,}00\times10^{6}}{5{,}154{,}97}\approx 0{,}04645.
    • A = \dfrac{3{,}6069\cdot 2{,}00\times10^{6}}{(5{,}154{,}97)^2}\approx 0{,}2715.
  • Polinômio cúbico em Z (forma padrão PR): Z^3 - (1-B)Z^2 + (A - 3B^2 - 2B)Z - (A B - B^2 - B^3)=0.Substituindo os valores numéricos obtém-se Z^3 - 0{,}95355\,Z^2 + 0{,}17213\,Z - 0{,}01035=0.
  • Resolução numérica (busca do único root real para T>T_c):
    • Avaliando a equação por tentativa/afinação obtemos a raiz real única Z \approx 0{,}740.
    • Interpretação física: Z<1 indica que, nessas condições, o volume real é menor que o volume ideal (efeitos atrativos dominantes).

Passo 5

Cálculo de V^{R} (residual de volume molar) e volume real.
  • Fórmula: V = \dfrac{Z R T}{P},\qquad V^{R}=V - \dfrac{R T}{P}=(Z-1)\dfrac{R T}{P}.Aqui V é o volume molar real, RT/P o volume molar ideal na mesma T,P.
  • Cálculo numérico:
    • \dfrac{R T}{P}=\dfrac{5{,}154{,}97}{2{,}00\times10^{6}}\approx 2{,}5775\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/mol}.
    • V^{R}=(0{,}740-1)\cdot 2{,}5775\times10^{-3}\approx -6{,}70\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/mol}.
    • Volume real V = Z RT/P \approx 0{,}740\cdot2{,}5775\times10^{-3}\approx 1{,}907\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Interpretação rápida: o volume real é cerca de 1{,}907\\ \mathrm{L/mol} e o desvio residual é -0{,}670\\ \mathrm{L/mol} (sinal negativo indica volume real menor que ideal).

Passo 6

Cálculo de H^{R} e S^{R} a partir das expressões de funções residuais da PR.
  • Fórmulas padrão (expressões usuais para PR; explico cada termo):
    • Definir a razão \Lambda=\ln\!\left(\dfrac{Z+(1+\sqrt{2})B}{Z+(1-\sqrt{2})B}\right).Esse log aparece nas integrais associadas à parte atrativa da EOS.
    • A função residual de Gibbs adimensional é (PR): \frac{G^{R}}{R T}=Z-1-\ln(Z-B)+\frac{A}{2\sqrt{2}B}\,\Lambda.Aqui \;A=\dfrac{aP}{R^2T^2} e \;B=\dfrac{bP}{RT} (já calculados).
    • A função residual de entalpia molar (expressa por H^{R}/(RT)) pode ser escrita convenientemente usando T\,\mathrm{d}A/\mathrm{d}T: \frac{H^{R}}{R T}=Z-1+\frac{T\,\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}T}}{2\sqrt{2}B}\,\Lambda.Observação: T\,\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}T} pode ser calculado a partir de A e do comportamento de a(T) (lembre que A\propto a(T)/T^2).
  • Cálculo dos termos numéricos:
    • Calcular \Lambda: (1+\sqrt{2})B\approx 2{,}4142136\cdot0{,}04645\approx 0{,}11216,
(1-\sqrt{2})B\approx -0{,}4142136\cdot0{,}04645\approx -0{,}01924.
Z+(1+\sqrt{2})B\approx 0{,}740+0{,}11216=0{,}85216, \quad Z+(1-\sqrt{2})B\approx 0{,}740-0{,}01924=0{,}72076,
\Lambda=\ln\!\left(\frac{0{,}85216}{0{,}72076}\right)\approx 0{,}1685.
  • Calcular T\,\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}T}. Usando A=\dfrac{aP}{R^2T^2} e a(T)=a_c\alpha(T):
    • Primeiro calcular \dfrac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}T}. Da forma \alpha(T)=[1+k(1-\sqrt{T/T_c})]^2 obtém-se (passo mostrativo) \dfrac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}T}=a_c\,\dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}T} =-a_c\,\dfrac{k\big(1+k(1-\sqrt{T/T_c})\big)}{T_c\sqrt{T/T_c}}.
    • Avaliando numericamente (usando os números do Passo 3) dá \dfrac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}T}\approx -5{,}103\times10^{-3} (SI).
    • Em seguida usa-se a relação T\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}T}=A\Big(\frac{T}{a}\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}T}-2\Big).Substituindo A\approx0{,}2715, a\approx3{,}6069 e T(\mathrm{d}a/\mathrm{d}T)\approx -3{,}164 obtém-se T\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}T}\approx -0{,}7812.
  • Agora calcular H^{R}/(RT): \frac{H^{R}}{R T}=Z-1+\frac{T\,\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}T}}{2\sqrt{2}B}\,\Lambda \approx -0{,}260 + \frac{-0{,}7812}{2\sqrt{2}\cdot0{,}04645}\cdot0{,}1685.
    • Calcular o fator: 2\sqrt{2}B\approx 0{,}131369, então \dfrac{T\,\mathrm{d}A/\mathrm{d}T}{2\sqrt{2}B}\approx -5{,}946.
    • Multiplicando por \Lambda dá aproximadamente -1{,}0016.
    • Assim \dfrac{H^{R}}{RT}\approx -0{,}260 - 1{,}0016 = -1{,}2616.
    • Finalmente H^{R} = R T\cdot(-1{,}2616)\approx 5{,}154{,}97\cdot(-1{,}2616)\approx -6{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}.
  • Cálculo de G^{R} e S^{R}:
    • Usando a expressão dada acima para G^{R}/(RT): \frac{G^{R}}{R T}=Z-1-\ln(Z-B)+\frac{A}{2\sqrt{2}B}\,\Lambda.
      • Avaliando numericamente: -\ln(Z-B)=-\ln(0{,}740-0{,}04645)=-\ln(0{,}69355)\approx 0{,}3663.
      • O fator A/(2\sqrt{2}B)\approx 2{,}067; multiplicando por \Lambda \approx 0{,}3483.
      • Somando: G^{R}/(RT)\approx -0{,}260 +0{,}3663 +0{,}3483 = 0{,}4546.
      • Logo G^{R}\approx R T\cdot0{,}4546\approx 5{,}154{,}97\cdot0{,}4546\approx 2{,}34\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}.
    • Então S^{R}=(H^{R}-G^{R})/T: S^{R}\approx \frac{-6{,}50\times10^{3} - 2{,}34\times10^{3}}{620} \approx -14{,}3\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 7

Cheguei aos valores finais (resumo numérico) e breve comentário sobre precisão.
  • Valores estimados (com arredondamento; unidades SI):
    • V^{R}\approx -6{,}70\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/mol} (ou -0{,}670\\ \mathrm{L/mol}),
    • H^{R}\approx -6{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol} (ou -6{,}50\\ \mathrm{kJ/mol}),
    • S^{R}\approx -14{,}3\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Comentários sobre a estimativa:
    • Usei a equação de Peng–Robinson com T_c,P_c,\omega tabulados; resultados são uma estimativa típica de engenharia. Para maior precisão pode-se:
      • usar dados experimentais de B(T) para um cálculo via virial (se |B| domina) ou
      • usar tabelas Lee–Kesler (ou forma reduzida mais precisa) e integrar numericamente para obter H^{R} e G^{R},
      • consultar bases como NIST para valores experimen- tais/mais precisos.
    • O sinal negativo de V^{R} e H^{R} indica efeito atrativo predominante (volume e entalpia reais menores que os ideais nas mesmas T,P).

Resposta

V^{R}\approx -6{,}70\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/mol}
H^{R}\approx -6{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}
S^{R}\approx -14{,}3\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}

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