Estime o número de colisões que um certo átomo de argônio faz em 1,0 \mathrm{~s} quando a temperatura do gás é de 25^{\circ} \mathrm{C} e a pressão é de 10 atm.
[Dado: M_{\mu}=39,948 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}, \sigma_{a t}=0,36 \mathrm{~nm}^{2} ]

Passo 1

O enunciado pede para estimar o número de colisões que um átomo de argônio sofre em 1{,}0\\ \mathrm{s} nas condições de T=25{{}^\circ\!}\mathrm{C} e P=10\\ \mathrm{atm}.
Para isso vamos usar:
  1. A equação de gás ideal para achar a densidade numérica n.
  2. A distribuição de Maxwell para obter a velocidade média \bar v.
  3. A fórmula da frequência de colisões por partícula z=n\,\sigma\,\bar v_{\rm rel}, onde \bar v_{\rm rel}=\sqrt{2}\,\bar v.

Passo 2

Calcular a densidade numérica n via
n = \frac{P}{k_B\,T}\,,
onde P=10\cdot1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=1{,}013\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, T=25{,}0+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K} e k_B=1{,}38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
n = \frac{1{,}013\times10^{6}}{1{,}38\times10^{-23}\times298{,}15}\approx2{,}46\times10^{26}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

Calcular a velocidade média \bar v da distribuição de Maxwell para um gás monatomic:
\bar v = \sqrt{\frac{8\,R\,T}{\pi\,M}}\,,
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\;K)} e M=39{,}948\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
\bar v = \sqrt{\frac{8\times8{,}314\times298{,}15}{\pi\times0{,}039948}} \approx3{,}98\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Como são colisões entre partículas idênticas, a velocidade relativa média é
\bar v_{\rm rel} = \sqrt{2}\,\bar v \approx1{,}414\times3{,}98\times10^{2}\approx5{,}62\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A frequência de colisões por átomo é dada por
z = n\,\sigma_{\rm at}\,\bar v_{\rm rel},
com \sigma_{\rm at}=0{,}36\\ \mathrm{nm}^2=0{,}36\times10^{-18}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Substituindo os valores:
z = 2{,}46\times10^{26}\times0{,}36\times10^{-18}\times5{,}62\times10^{2} \approx5{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

O átomo de argônio sofre aproximadamente 5{,}0\times10^{10} colisões em 1{,}0\\ \mathrm{s}.

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