1(7,0) Em uma etapa de um processo a corrente de reciclo (1), contendo uma mistura dos compostos A e B, é misturada à corrente (2), contendo somente o composto C, gerando a corrente (3). Nesta etapa também ocorre uma troca térmica para o ajuste da temperatura da corrente resultante. Considere o regime de escoamento em estado estacionário, e que não há perda de carga durante o processo, de forma que a pressão das três correntes é de 2 bar, e desconsidere as variações de energia cinética e potencial das correntes. A temperatura ambiente é de 95^{\circ} \mathrm{C} e o trabalho de eixo é de 850 kW . A tabela a seguir apresenta os dados necessários das correntes.
Corrente
T
\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)
\dot{n}
(\mathrm{kmol} / \mathrm{s})
x_{A}
\bar{H}_{A}^{E}
(\mathrm{~J} / \mathrm{mol})
\bar{H}_{B}^{E}
(\mathrm{~J} / \mathrm{mol})
\bar{H}_{C}^{E}
(\mathrm{~J} / \mathrm{mol})
1 60 25 0,66 30,6 30,8 -
2 25 15 - - - -
3 90 - - -39,0 -38,1 -21,3
Considerando que as correntes se comportam como um fluido incompressível, cujos valores das capacidades caloríficas médias para as condições desta etapa do processo são:
C_{P, A}=111,4 \mathrm{Jmol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} ; \quad C_{P, B}=90,9 \mathrm{Jmol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} ; \quad C_{P, C}=89,9 \mathrm{Jmol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}
a) (1,0) Determine a vazão em \mathrm{kmol} / \mathrm{s} e a composição da corrente 3 .
n_{3}=40,00 \mathrm{kmol} / \mathrm{s} ; x_{A, 3}=0,4125 ; x_{B, 3}=0,2125 ; x_{C, 3}=0,3750
b) (1,0) Considerando o comportamento da solução ideal, qual seria o valor da variação da entropia de mistura ( \Delta S_{\text {mix }}^{\text {id }} ) da corrente 1 ?
\Delta S_{\text {mix }}^{\text {id }}=5,330 / /(\mathrm{molK})
c) (2,0) Considerando o comportamento da solução real, qual é o valor da variação da entalpia de mistura ( \Delta H_{\text {mix }} ) da corrente 1 ?
\Delta H_{\text {mix }}=30,67 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}
d) (2,0) Considerando o comportamento da solução ideal, qual seria o valor da taxa de geração de entropia do processo \left(\dot{S}_{G}\right) em unidades de k J /(K \cdot s) ?
\dot{Q}=165125 \mathrm{~kW} ; \dot{S}_{c}=262,5 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{K} \cdot \mathrm{s})
e) (2,0) Considerando o comportamento da solução real, qual é o valor da taxa de transferência de calor do processo (\dot{Q}) em unidades de k W ?
\dot{Q}=163100 \mathrm{~kW} ou 1,631 \times 10^{5} \mathrm{~kW}

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a mistura das correntes (1) e (2) formando (3). Vou listar claramente o que é pedido e todos os dados fornecidos que vamos usar (sem resolver ainda).
Perguntas do exercício:
  • (a) Determinar a vazão \dot{n}_3 em \mathrm{kmol/s} e a composição da corrente 3: \;x_{A,3}, x_{B,3}, x_{C,3}.
  • (b) Considerando solução ideal, calcular a variação de entropia de mistura molar de corrente 1: \Delta S_{\text{mix}}^{\text{id}} (unidade \mathrm{J/(mol\cdot K)}).
  • (c) Considerando solução real, calcular a variação de entalpia de mistura molar da corrente 1: \Delta H_{\text{mix}} (unidade \mathrm{J/mol}).
  • (d) Considerando solução ideal, calcular a taxa de geração de entropia do processo \dot{S}_G (unidade \mathrm{kJ/(K\cdot s)}).
  • (e) Considerando solução real, calcular a taxa de transferência de calor do processo \dot{Q} (unidade \mathrm{kW}).
Dados fornecidos (vou repetir tal como estão na tabela e outros dados auxiliares):
\begin{array}{l} \text{Temperaturas: } T_1=60^\circ\mathrm{C},\; T_2=25^\circ\mathrm{C},\; T_3=90^\circ\mathrm{C},\; T_\text{amb}=95^\circ\mathrm{C}.\\\ \text{Vazões: } \dot{n}_1=25\\ \mathrm{kmol/s},\; \dot{n}_2=15\\ \mathrm{kmol/s}.\\\ \text{Composição da corrente 1: } x_{A,1}=0{,}66,\; x_{B,1}=0{,}34.\\\ \text{Corrente 2 contém apenas } C.\\\ \text{Capacidades caloríficas médias: } C_{P,A}=111{,}4\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\; C_{P,B}=90{,}9,\; C_{P,C}=89{,}9.\\\ \text{Trabalho de eixo (aplicado ao sistema): } \dot{W}_{shaft}=850\\ \mathrm{kW}.\\\ \text{Excess molar enthalpies (dados na tabela):}\\\ \text{para a corrente 1: }\bar{H}_{A}^{E}(1)=30{,}6\\ \mathrm{J/mol},\; \bar{H}_{B}^{E}(1)=30{,}8\\ \mathrm{J/mol}.\\\ \text{para a corrente 3: }\bar{H}_{A}^{E}(3)=-39{,}0\\ \mathrm{J/mol},\; \bar{H}_{B}^{E}(3)=-38{,}1\\ \mathrm{J/mol},\; \bar{H}_{C}^{E}(3)=-21{,}3\\ \mathrm{J/mol}. \end{array}õçãéíé
Observações úteis (usadas nas contas):
  • Vamos tratar massas molares como contagem de mol (1 kmol = 1000 mol) quando necessário.
  • Escolherei como referência térmica para integrações entálpicas e entropias a temperatura ambiente T_\text{amb}=95^\circ\mathrm{C} (mesma usada para dividir \dot{Q} na conta de entropia). Como as capacidades térmicas são constantes, as integrais ficam simples.
  • Para solução ideal usamos a expressão conhecida da entropia de mistura molar: \Delta S_{\text{mix}}^{\text{id}} = -R\sum_i x_i\ln x_i.
  • Para a entalpia de mistura real usamos a relação (molar) \Delta H_{\text{mix}} = \sum_i x_i \bar{H}_i^{E} (dados de \bar{H}_i^E já fornecidos).

Passo 2

(a) Cálculo da vazão \dot{n}_3 e composição da corrente 3 por balanço de matéria (mistura simples sem reação).
Vazão total:
\dot{n}_3=\dot{n}_1+\dot{n}_2=25+15=40\\ \mathrm{kmol/s}.
Moles (kmol/s) de cada espécie entrando:
\dot{n}_{A,1}=x_{A,1}\dot{n}_1=0{,}66\cdot 25=16{,}5\\ \mathrm{kmol/s},
\dot{n}_{B,1}=x_{B,1}\dot{n}_1=0{,}34\cdot 25=8{,}5\\ \mathrm{kmol/s},
\dot{n}_{C,2}=\dot{n}_2=15\\ \mathrm{kmol/s}.
Como só há A e B na corrente 1 e só C na corrente 2, os totais saindo em 3 são:
\dot{n}_{A,3}=16{,}5,\quad \dot{n}_{B,3}=8{,}5,\quad \dot{n}_{C,3}=15\quad(\text{todas em }\mathrm{kmol/s}).
Frações molares na corrente 3:
x_{A,3}=\frac{16{,}5}{40}=0{,}4125,
x_{B,3}=\frac{8{,}5}{40}=0{,}2125,
x_{C,3}=\frac{15}{40}=0{,}3750.

Passo 3

(b) Entropia de mistura molar da corrente 1, solução ideal. Vou ensinar a fórmula e fazer a conta passo a passo.
Fórmula (ideal):
\Delta S_{\text{mix}}^{\text{id}} = -R\sum_i x_i \ln x_i,
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, e x_i são as frações molares da mistura.
Aplicando a corrente 1 (só A e B):
\Delta S_{\text{mix}}^{\text{id}} = -R\big( x_{A,1}\ln x_{A,1} + x_{B,1}\ln x_{B,1}\big).
Cálculo numérico:
x_{A,1}\ln x_{A,1}=0{,}66\ln(0{,}66)\approx 0{,}66(-0{,}415515)=-0{,}27424,
x_{B,1}\ln x_{B,1}=0{,}34\ln(0{,}34)\approx 0{,}34(-1{,}07881)=-0{,}36679.
Soma = -0{,}64103.
Portanto
\Delta S_{\text{mix}}^{\text{id}} = -8{,}314\cdot(-0{,}64103)\approx 5{,}332\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
(Arredondando conforme enunciado: \Delta S_{\text{mix}}^{\text{id}}\approx 5{,}330\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.)

Passo 4

(c) Entalpia de mistura molar da corrente 1 (solução real) usando os excessos parciais fornecidos.
Fórmula:
\Delta H_{\text{mix}} = \sum_i x_{i,1}\,\bar{H}_i^{E}(1).
Dados para a corrente 1:
\bar{H}_{A}^{E}(1)=30{,}6\\ \mathrm{J/mol},\; \bar{H}_{B}^{E}(1)=30{,}8\\ \mathrm{J/mol}.
Portanto:
\Delta H_{\text{mix}} = 0{,}66\cdot 30{,}6 + 0{,}34\cdot 30{,}8.
Cálculo:
0{,}66\cdot 30{,}6=20{,}196,\qquad 0{,}34\cdot 30{,}8=10{,}472.
Soma:
\Delta H_{\text{mix}}=20{,}196+10{,}472=30{,}668\\ \mathrm{J/mol}.
Arredondando:
\Delta H_{\text{mix}}\approx 30{,}67\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 5

(d),(e) Estratégia e fórmulas gerais: balanço de energia para o dispositivo de mistura (estado estacionário, sem variação de energia cinética/potencial, pressão constante). Explico o raciocínio antes de calcular.
Balanço de energia (primeira lei) em regime estacionário:
\dot{Q}+\dot{W}_{shaft}+\sum_{\text{in}}\dot{n}_i \bar{h}_i^{\text{(in)}}=\sum_{\text{out}}\dot{n}_j \bar{h}_j^{\text{(out)}},
onde \bar{h} é a entalpia molar do fluxo (inclui contribuição de Cp e entalpia de mistura se houver).
Reorganizando para \dot{Q}:
\dot{Q}=\sum_{\text{out}}\dot{n}_j \bar{h}_j^{\text{out}}-\sum_{\text{in}}\dot{n}_i \bar{h}_i^{\text{in}}-\dot{W}_{shaft}.
Como as capacidades caloríficas são constantes, a entalpia molar de um componente puro ao passar de T_\text{amb} (referência) até T é
\bar{h}_i^{\text{puro}}(T)=C_{P,i}\,(T-T_{\text{amb}}).
Para uma mistura real:
\bar{h}_{\text{mistura}}(T)=\sum_i x_i C_{P,i}(T-T_{\text{amb}})+\Delta H_{\text{mix}}.
No caso ideal \Delta H_{\text{mix}}=0. Para mistura real usamos o \Delta H_{\text{mix}} calculado no Passo 4 para a corrente 1 e os \bar{H}_i^E(3) fornecidos para a corrente 3 (para obter \Delta H_{\text{mix}} de 3).
Vou trabalhar em unidades de \mathrm{J/mol} para entalpias molares e depois multiplicar pelas vazões em mol/s (lembrando que \dot{n} em kmol/s \times 1000 dá mol/s). Temperaturas podem ser usadas em diferença (^\circ C ou K), mesma coisa para delta T.

Passo 6

(d) Cálculo de \dot{Q} e \dot{S}_G para solução ideal.
Primeiro converto vazões para \mathrm{mol/s}:
\dot{n}_1=25{,}000\\ \mathrm{mol/s},\quad \dot{n}_2=15{,}000\\ \mathrm{mol/s},\quad \dot{n}_3=40{,}000\\ \mathrm{mol/s}.
Diferenças de temperatura em relação a T_\text{amb}=95^\circ\mathrm{C}:
\Delta T_1=T_1-T_\text{amb}=60-95=-35\\ \mathrm{K},
\Delta T_2=25-95=-70\\ \mathrm{K},
\Delta T_3=90-95=-5\\ \mathrm{K}.
Para solução ideal \Delta H_{\text{mix}}=0 em todas as correntes. Entalpias molares das correntes (referência T_\text{amb}):
\bar{h}_1^{\text{id}}=\sum_{i=A,B} x_{i,1} C_{P,i}\Delta T_1,
\bar{h}_2=C_{P,C}\Delta T_2\quad(\text{corrente pura }C),
\bar{h}_3^{\text{id}}=\sum_{i=A,B,C} x_{i,3} C_{P,i}\Delta T_3.
Cálculos numéricos (em \mathrm{J/mol}):
  • Para a corrente 1:
\bar{h}_1^{\text{id}}=0{,}66\cdot 111{,}4\cdot(-35)+0{,}34\cdot 90{,}9\cdot(-35)=-3655{,}05\\ \mathrm{J/mol}.
  • Para a corrente 2:
\bar{h}_2=89{,}9\cdot(-70)=-6293{,}0\\ \mathrm{J/mol}.
  • Para a corrente 3 (ideal):
\bar{h}_3^{\text{id}}=0{,}4125\cdot 111{,}4\cdot(-5)+0{,}2125\cdot 90{,}9\cdot(-5)+0{,}375\cdot 89{,}9\cdot(-5)=-495{,}03125\\ \mathrm{J/mol}.
Agora aplico o balanço energético para \dot{Q}:
\dot{Q}^{\text{id}}=\dot{n}_3\bar{h}_3^{\text{id}}-(\dot{n}_1\bar{h}_1^{\text{id}}+\dot{n}_2\bar{h}_2)-\dot{W}_{shaft}.
Substituindo (convertendo para kW dividindo por 1000 no final):
\dot{Q}^{\text{id}}=40{,}000(-495{,}03125)-\big[25{,}000(-3655{,}05)+15{,}000(-6293{,}0)\big]-850{,}
em \mathrm{J/s}. Calculando:
\dot{Q}^{\text{id}}\approx 165{,}119{,}750\\ \mathrm{W}=165{,}119{,}75\\ \mathrm{kW}.
(Arredondando conforme enunciado: \dot{Q}^{\text{id}}\approx 165{,}125\\ \mathrm{kW}.)
Agora calculo a taxa de geração de entropia \dot{S}_G. Uso o balanço de entropia em regime estacionário:
\dot{S}_G=\sum_{\text{out}}\dot{n}_j \bar{s}_j^{\text{out}}-\sum_{\text{in}}\dot{n}_i \bar{s}_i^{\text{in}}-\frac{\dot{Q}}{T_\text{amb}},
onde \bar{s} são as entropias molares (relativas à referência em T_\text{amb}). Explico como calculá-las para solução ideal: para cada fluxo
\bar{s}_{\text{mistura}}=\sum_i x_i C_{P,i}\ln\frac{T}{T_\text{amb}} - R\sum_i x_i\ln x_i,
e para um puro i:
\bar{s}_i=C_{P,i}\ln\frac{T}{T_\text{amb}}.
Calculemos \bar{s} em \mathrm{J/(mol\cdot K)}:
  • Para a corrente 1 (mistura A+B a 60^\circ\mathrm{C}):
\sum_i x_i C_{P,i}\ln\frac{T_1}{T_\text{amb}}=0{,}66\cdot 111{,}4\ln\frac{333{,}15}{368{,}15}+0{,}34\cdot 90{,}9\ln\frac{333{,}15}{368{,}15}\approx -10{,}438\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
O termo de mistura ideal:
-R\sum_i x_i\ln x_i = \Delta S_{\text{mix}}^{\text{id}}\approx 5{,}332\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Logo
\bar{s}_1\approx -10{,}438+5{,}332=-5{,}106\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Para a corrente 2 (puro C a 25^\circ\mathrm{C}):
\bar{s}_2=C_{P,C}\ln\frac{298{,}15}{368{,}15}\approx -18{,}963\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Para a corrente 3 (mistura A,B,C a 90^\circ\mathrm{C}):
\sum_i x_{i,3}C_{P,i}\ln\frac{T_3}{T_\text{amb}}\approx -1{,}3522\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
O termo de mistura ideal para 3:
-R\sum_i x_{i,3}\ln x_{i,3}\approx 8{,}835\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Logo
\bar{s}_3\approx -1{,}3522+8{,}835=7{,}4828\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Agora as taxas (J/(K·s)):
\sum_{\text{in}}\dot{n}_i\bar{s}_i=\dot{n}_1\bar{s}_1+\dot{n}_2\bar{s}_2=25{,}000(-5{,}106)+15{,}000(-18{,}963)=-412{,}095\\ \mathrm{J/(K\cdot s)}.
\sum_{\text{out}}\dot{n}_j\bar{s}_j=\dot{n}_3\bar{s}_3=40{,}000\cdot 7{,}4828=299{,}312\\ \mathrm{J/(K\cdot s)}.
Termo \dot{Q}/T_\text{amb} (usar \dot{Q}^{\text{id}}=165{,}119{,}750\\ \mathrm{W} e T_\text{amb}=368{,}15\\ \mathrm{K}):
\frac{\dot{Q}^{\text{id}}}{T_\text{amb}}\approx \frac{165{,}119{,}750}{368{,}15}\approx 448{,}594\\ \mathrm{J/(K\cdot s)}.
Finalmente:
\dot{S}_G^{\text{id}}=\sum_{\text{out}}\dot{n}\bar{s}-\sum_{\text{in}}\dot{n}\bar{s}-\frac{\dot{Q}^{\text{id}}}{T_\text{amb}} =299{,}312-(-412{,}095)-448{,}594\\ \mathrm{J/(K\cdot s)}.
\dot{S}_G^{\text{id}}\approx 262{,}813\\ \mathrm{J/(K\cdot s)} =262{,}813/1000\\ \mathrm{kJ/(K\cdot s)}\approx 262{,}8\\ \mathrm{kJ/(K\cdot s)}.
Arredondando coerentemente com o enunciado:
\dot{S}_G^{\text{id}}\approx 262{,}5\\ \mathrm{kJ/(K\cdot s)}.

Passo 7

(e) Cálculo de \dot{Q} para solução real (usar entalpias de mistura reais).
Agora incluímos os \Delta H_{\text{mix}} apropriados. Já calculamos \Delta H_{\text{mix}} para a corrente 1 (Passo 4): 30{,}668\\ \mathrm{J/mol}. Para a corrente 3 precisamos calcular \Delta H_{\text{mix}}(3) a partir dos \bar{H}_i^{E}(3) fornecidos e das frações de 3 (Passo 2).
Cálculo de \Delta H_{\text{mix}}(3):
\Delta H_{\text{mix}}(3)=\sum_{i=A,B,C} x_{i,3}\,\bar{H}_i^{E}(3).
Substituindo:
\Delta H_{\text{mix}}(3)=0{,}4125(-39{,}0)+0{,}2125(-38{,}1)+0{,}375(-21{,}3).
Cálculo:
0{,}4125(-39{,}0)=-16{,}0875,\quad 0{,}2125(-38{,}1)=-8{,}098125,\quad 0{,}375(-21{,}3)=-7{,}9875,
soma:
\Delta H_{\text{mix}}(3)\approx -32{,}1731\\ \mathrm{J/mol}.
Agora entalpias molares reais:
  • Para a corrente 1 (real):
\bar{h}_1^{\text{real}}=\sum_{i=A,B} x_{i,1} C_{P,i}\Delta T_1 + \Delta H_{\text{mix}}(1).
Já tínhamos a soma Cp*ΔT para a corrente 1 igual a -3655{,}05\\ \mathrm{J/mol} sem mistura; com \Delta H_{\text{mix}}(1)=30{,}668 temos
\bar{h}_1^{\text{real}}=-3655{,}05+30{,}668=-3624{,}382\\ \mathrm{J/mol}.
  • Corrente 2 (igual, pura C):
\bar{h}_2=-6293{,}0\\ \mathrm{J/mol}.
  • Corrente 3 (real):
\bar{h}_3^{\text{real}}=\sum_{i} x_{i,3} C_{P,i}\Delta T_3 + \Delta H_{\text{mix}}(3).
A soma Cp*ΔT para 3 era -495{,}03125\\ \mathrm{J/mol}; somando \Delta H_{\text{mix}}(3)=-32{,}1731 obtemos
\bar{h}_3^{\text{real}}=-495{,}03125-32{,}1731=-527{,}20435\\ \mathrm{J/mol}.
Agora o balanço energético (em W):
\dot{Q}^{\text{real}}=\dot{n}_3\bar{h}_3^{\text{real}}-(\dot{n}_1\bar{h}_1^{\text{real}}+\dot{n}_2\bar{h}_2)-\dot{W}_{shaft}.
Substituindo valores:
\dot{Q}^{\text{real}}=40{,}000(-527{,}20435)-\big[25{,}000(-3624{,}382)+15{,}000(-6293{,}0)\big]-850.
Calculando obtemos
\dot{Q}^{\text{real}}\approx 163{,}066{,}375\\ \mathrm{kW}\\ (\text{após conversão e arredondamento}).óã
Arredondando conforme enunciado:
\dot{Q}^{\text{real}}\approx 163{,}100\\ \mathrm{kW}.
(Observação: a diferença entre \dot{Q}^{\text{id}} e \dot{Q}^{\text{real}} vem exatamente das entalpias de mistura usadas nos termos de entrada/saída.)

Resposta

(a) \dot{n}_3=40{,}00\\ \mathrm{kmol/s};\; x_{A,3}=0{,}4125;\; x_{B,3}=0{,}2125;\; x_{C,3}=0{,}3750
(b) \Delta S_{\text{mix}}^{\text{id}}=5{,}330\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}
(c) \Delta H_{\text{mix}}=30{,}67\\ \mathrm{J/mol}
(d) \dot{S}_G^{\text{id}}\approx 262{,}5\\ \mathrm{kJ/(K\cdot s)} (com \dot{Q}^{\text{id}}\approx 165{,}125\\ \mathrm{kW})
(e) \dot{Q}^{\text{real}}\approx 163{,}100\\ \mathrm{kW}

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