A temperatura no início do processo de compressão de um ciclo de ar padrão otto com uma taxa de compressão de 8 é de 300 K , a pressão é 1 bar e o volume do cilindro é de 560 \mathrm{~cm}^{3}. A temperatura máxima durante o ciclo é de 2000 K . Determine:
a) A temperatura e pressão ao final de cada processo do ciclo
b) A eficiência térmica
c) A pressão média efetiva, em bar

Passo 1

Dados do enunciado (resumido e claro):
\text{taxa de compressão } r=\frac{V_1}{V_2}=8,ã
T_1=300\\ \mathrm{K},\quad P_1=1\\ \mathrm{bar},\quad V_1=560\\ \mathrm{cm^3},
T_{\max}=T_3=2000\\ \mathrm{K}.
Assunções necessárias (não dadas explicitamente no enunciado, mas padrão para ar):
\gamma=\frac{c_p}{c_v}=1,4,\qquad R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
O que se pede:
a) Temperatura e pressão ao final de cada processo do ciclo (ou seja, estados 2, 3, 4 — e o estado 1 já é conhecido).
b) Eficiência térmica do ciclo.
c) Pressão média efetiva (pme, em bar).

Passo 2

Entendendo os processos do ciclo Otto e as fórmulas que vamos usar (mini-aula prática).
  • O ciclo Otto ideal tem as etapas: 1\to2 compressão adiabática reversível (isentrópica), 2\to3 aquecimento a volume constante, 3\to4 expansão isentrópica, 4\to1 rejeição de calor a volume constante.
  • Para um processo isentrópico de gás ideal vale a relação
P V^\gamma=\text{const}
e, usando P V=m R T, obtemos as relações úteis:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}=r^{\,\gamma-1},
\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}=r^{\,\gamma}.
  • Para um processo a volume constante ( V= const) com gás ideal:
\frac{P_3}{P_2}=\frac{T_3}{T_2}.
Estas fórmulas são suficientes para calcular T_2,P_2,P_3,T_4,P_4 sabendo T_1,P_1,V_1,r,T_3.

Passo 3

Cálculo do estado 2 (final da compressão isentrópica 1\to2):
Usamos \displaystyle T_2=T_1\,r^{\,\gamma-1}.
\gamma-1=1,4-1=0,4.
r^{\,\gamma-1}=8^{0,4}.
Calculando numericamente:
8^{0,4}\approx 2,29637.
T_2=300\cdot 8^{0,4}=300\cdot 2,29637\approx 688,9\\ \mathrm{K}.
Agora a pressão P_2 pela relação P_2=P_1\,r^{\,\gamma}:
r^{\,\gamma}=8^{1,4}\approx 18,3637,
P_2=1\\ \mathrm{bar}\cdot 18,3637\approx 18,36\\ \mathrm{bar}.
Também é útil o volume comprimido:
V_2=\frac{V_1}{r}=\frac{560\\ \mathrm{cm^3}}{8}=70\\ \mathrm{cm^3}.

Passo 4

Cálculo do estado 3 (final do aquecimento a volume constante 2\to3):
Temos T_3 dado como 2000\\ \mathrm{K}. Como o processo é a volume constante, a pressão muda proporcionalmente à temperatura:
\frac{P_3}{P_2}=\frac{T_3}{T_2}\quad\Rightarrow\quad P_3=P_2\frac{T_3}{T_2}.
Substituindo valores:
P_3\approx 18,3637\\ \mathrm{bar}\cdot\frac{2000}{688,9}\approx 18,3637\cdot 2,9046\approx 53,33\\ \mathrm{bar}.
Observe que V_3=V_2=70\\ \mathrm{cm^3}.

Passo 5

Cálculo do estado 4 (final da expansão isentrópica 3\to4):
Para a expansão isentrópica temos análogas relações do passo 2. Em particular
T_4=T_3\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma-1}.
Como V_4=V_1 e V_3=V_2, tem-se \displaystyle \frac{V_3}{V_4}=\frac{V_2}{V_1}=\frac{1}{r}. Logo
T_4=T_3\,r^{-(\gamma-1)}=\frac{T_3}{r^{\,\gamma-1}}.
Substituindo:
T_4=\frac{2000}{8^{0,4}}=\frac{2000}{2,29637}\approx 871,4\\ \mathrm{K}.
A pressão P_4 pode ser obtida por P_4/P_3=(V_3/V_4)^{\gamma}=(1/r)^{\gamma}, ou usando a lei dos gases ideais sabendo que V_4=V_1:
P_4=P_1\frac{T_4}{T_1}=1\\ \mathrm{bar}\cdot\frac{871,4}{300}\approx 2,9047\\ \mathrm{bar}.
(Verificação rápida: P_4=P_3\cdot r^{-\gamma}=53,33/18,3637\approx 2,9047\\ \mathrm{bar}, mesma coisa.)

Passo 6

Cálculo da eficiência térmica do ciclo (mini-aula e aplicação).
  • Para o ciclo Otto com capacidades caloríficas constantes as trocas de calor são:
q_{in}=c_v\,(T_3-T_2),\qquad q_{out}=c_v\,(T_4-T_1).
A eficiência térmica é
\eta=1-\frac{q_{out}}{q_{in}}=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}.
Usando as relações isentrópicas e substituindo, essa expressão reduz-se (forma clássica) a
\eta=1-r^{\,1-\gamma}.
Aplicando números:
r^{\,1-\gamma}=r^{-(\gamma-1)}=8^{-0,4}=\frac{1}{8^{0,4}}\approx \frac{1}{2,29637}\approx 0,4355,
\eta=1-0,4355\approx 0,5645\quad\text{ou}\quad 56,45\%.

Passo 7

Cálculo da pressão média efetiva (pme).
  • Definição: \displaystyle p_{me}=\frac{W_{\text{líquido por ciclo}}}{V_{\text{varr.}}}í, onde V_{\text{varr.}}=V_1-V_2 é o volume varrido (swept volume).
  • O trabalho líquido por ciclo é W_{\text{ciclo}}=m\,(q_{in}-q_{out})=m\,w_{\text{líquido}}í, com w_{\text{líquido}}=c_v\big[(T_3-T_2)-(T_4-T_1)\big]í.
    Primeiro precisamos da massa de ar no cilindro (estado 1), usando a equação dos gases ideais:
m=\frac{P_1 V_1}{R T_1}.
Converter V_1 para SI: V_1=560\\ \mathrm{cm^3}=5{,}60\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3}. Em unidades SI:
m=\frac{1{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\cdot 5{,}60\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3}}{287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\cdot 300\\ \mathrm{K}} =\frac{56}{86100}\\ \mathrm{kg}\approx 6{,}5099\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg}.
  • Também usamos c_v=\dfrac{R}{\gamma-1}=\dfrac{287}{0,4}=717{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    Agora calculemos q_{in} e q_{out} por unidade de massa:
q_{in}=c_v\,(T_3-T_2)=717{,}5\cdot(2000-688{,}9)=717{,}5\cdot 1311{,}1\approx 940707{,}7\\ \mathrm{J/kg},
q_{out}=c_v\,(T_4-T_1)=717{,}5\cdot(871{,}4-300)=717{,}5\cdot 571{,}4\approx 410004{,}6\\ \mathrm{J/kg}.
w_{\text{líquido}}=q_{in}-q_{out}\approx 940707{,}7-410004{,}6=530703{,}1\\ \mathrm{J/kg}.í
Trabalho líquido por ciclo:
W_{\text{ciclo}}=m\cdot w_{\text{líquido}}\approx 6{,}5099\times 10^{-4}\cdot 530703{,}1\approx 345{,}0\\ \mathrm{J}.í
Volume varrido:
V_{\text{varr.}}=V_1-V_2=5{,}60\times 10^{-4}-\frac{5{,}60\times 10^{-4}}{8}=5{,}60\times 10^{-4}\cdot\frac{7}{8}=4{,}90\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
Logo a pressão média efetiva:
p_{me}=\frac{345{,}0\\ \mathrm{J}}{4{,}90\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3}}\approx 7{,}0408\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}=7{,}0408\\ \mathrm{bar}.

Resposta

Estado 2 (fim da compressão): T_2\approx 688{,}9\\ \mathrm{K},\; P_2\approx 18{,}36\\ \mathrm{bar}.
Estado 3 (fim do aquecimento a V constante): T_3=2000\\ \mathrm{K},\; P_3\approx 53{,}33\\ \mathrm{bar}.
Estado 4 (fim da expansão): T_4\approx 871{,}4\\ \mathrm{K},\; P_4\approx 2{,}9047\\ \mathrm{bar}.
Eficiência térmica: \eta\approx 0{,}5645 (ou 56{,}45\%).
Pressão média efetiva: p_{me}\approx 7{,}04\\ \mathrm{bar}.

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