1. (Do Exemplo 6.12 - Pág. 157, similar à Questão 2 da prova)
Suponhamos que um tanque com volume de 0.4 \mathrm{~m}^{3} e que inicialmente contenha vapor saturado de água a 350 kPa . Abre-se a válvula e o vapor d’água da linha, a 1.4 MPa e 300^{\circ} \mathrm{C}, escoa para o tanque até que a pressão atinja 1.4 MPa . Calcule a massa de vapor d’água que escoa para o tanque.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Volume do tanque: V=0{,}4\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Estado inicial do conteúdo do tanque: vapor saturado de água à pressão p_{1}=350\\ \mathrm{kPa}.
  • Estado do vapor que entra pela tubulação (reservatório): pressão p_{s}=1{,}4\\ \mathrm{MPa}=1400\\ \mathrm{kPa} e temperatura T_{s}=300^{\circ}\mathrm{C}. Esse vapor é o fluido que escoa para o tanque.
  • O escoamento ocorre até que a pressão dentro do tanque atinja 1{,}4\\ \mathrm{MPa} (mesma pressão do reservatório).
  • Pergunta: calcular a massa de vapor que escoa para o tanque (isto é, a massa adicionada ao tanque durante o processo).
Observações (importantes para o método): o enunciado indica que o reservatório fornece vapor a 1{,}4\\ \mathrm{MPa} e 300^{\circ}\mathrm{C}. Enquanto a válvula estiver aberta o tanque estará em contato com esse vapor; quando a pressão do tanque atinge 1{,}4\\ \mathrm{MPa} o processo cessa. Assim vamos assumir que o estado final do fluido no tanque é igual ao estado do vapor fornecido pelo reservatório (mesma pressão e mesma temperatura): isto simplifica porque então as propriedades específicas do estado final são as mesmas do vapor de entrada. Usarei tabelas de vapor para obter as propriedades necessárias nesses estados (vou indicar os valores usados).

Passo 2

Estratégia física e balanço de energia (explicando passo a passo o raciocínio).
  • O tanque é rígido (volume constante) e inicialmente contém massa m_{1} de vapor saturado com energia interna específica u_{1}. Depois do enchimento a massa final será m_{2}=m_{1}+m_{\text{in}}, onde m_{\text{in}} é a massa que entrou (o que queremos).
  • Aplicamos o balanço de energia para o processo considerável como sistema aberto durante o ingresso do vapor: toda a energia trazida pelo escoamento entra no tanque (não consideramos trocas de calor com o ambiente nem trabalho de ponta além do trabalho de fluxo). A forma conveniente do balanço é
m_{1} u_{1} + m_{\text{in}} h_{\text{in}} = m_{2} u_{2},
onde:
  • u é a energia interna específica (kJ/kg),
  • h_{\text{in}} é a entalpia específica do vapor que entra (kJ/kg),
  • subscritos: 1 = estado inicial no tanque, \text{in} = vapor de entrada (reservatório), 2 = estado final no tanque.
  • Como assumimos que o estado final do tanque é igual ao estado do vapor de entrada (mesma p e T), então u_{2}=u_{\text{in}}. Substituindo m_{2}=m_{1}+m_{\text{in}} e u_{2}=u_{\text{in}} obtemos uma equação para m_{\text{in}}:
m_{1}u_{1}+m_{\text{in}}h_{\text{in}}=(m_{1}+m_{\text{in}})u_{\text{in}}.
Rearranjando:
m_{\text{in}}(h_{\text{in}}-u_{\text{in}})=m_{1}(u_{\text{in}}-u_{1}).
Logo
m_{\text{in}}=\dfrac{m_{1}\left(u_{\text{in}}-u_{1}\right)}{h_{\text{in}}-u_{\text{in}}}.
  • Para usar essa fórmula precisamos de:
    1. m_{1} (massa inicial no tanque) — obtida por m_{1}=V/v_{1}, onde v_{1} é o volume específico do vapor saturado à 350\\ \mathrm{kPa}.
    2. u_{1} — energia interna específica do vapor saturado à 350\\ \mathrm{kPa}.
    3. h_{\text{in}},\;u_{\text{in}} — entalpia e energia interna específicas do vapor a 1{,}4\\ \mathrm{MPa} e 300^{\circ}\mathrm{C}.
  • Esses três itens são propriedades termodinâmicas que devem ser obtidas em tabelas de vapor d’água. A seguir eu forneço os valores lidos nas tabelas (valores típicos de tabela; mantive boa precisão prática).

Passo 3

Propriedades lidas nas tabelas de vapor (valores adotados neste cálculo).
  • Estado inicial (saturado a p_{1}=350\\ \mathrm{kPa}):
    • volume específico do vapor saturado: v_{1}=0{,}5340\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}. (valor lido da tabela de vapor saturado a 350\\ \mathrm{kPa}.)
    • energia interna do vapor saturado: u_{1}=2551{,}3\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}. (valor lido na tabela)
  • Estado do vapor de entrada / estado final (reservatório): p_{s}=1{,}4\\ \mathrm{MPa}, T_{s}=300^{\circ}\mathrm{C}. Valores lidos na tabela superaquecida:
    • entalpia específica do vapor de entrada: h_{\text{in}}=3050{,}9\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
    • volume específico do vapor a esse estado: v_{\text{in}}=0{,}25795\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}.
    • energia interna específica do mesmo estado (pelo relacionamento u=h-pv, com p em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} para obter kJ/kg):
u_{\text{in}}=h_{\text{in}}-p_{\text{in}}\,v_{\text{in}} =3050{,}9-\dfrac{1400\cdot0{,}25795}{1} =3050{,}9-361{,}13 =2689{,}77\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
(Obs.: p_{\text{in}}=1{,}4\\ \mathrm{MPa}=1400\\ \mathrm{kPa}.)
Nota: todos os valores numéricos acima foram obtidos em tabelas usuais de vapor d’água (tabela de saturação para p=350\\ \mathrm{kPa} e tabela superaquecida para p=1{,}4\\ \mathrm{MPa},\\ T=300^\circ\mathrm{C}). Se o leitor usar outra tabela com leve diferença numérica, o resultado final terá pequena variação.

Passo 4

Calcular a massa inicial m_{1} no tanque.
  • m_{1}=\dfrac{V}{v_{1}}=\dfrac{0{,}4}{0{,}5340}\\ \mathrm{kg}.
  • Calculando:
m_{1}=0{,}7487\\ \mathrm{kg}\quad(\text{aprox.})

Passo 5

Calcular a massa que entrou m_{\text{in}} usando a fórmula deduzida no Passo 2.
  • Relembrando a fórmula:
m_{\text{in}}=\dfrac{m_{1}\left(u_{\text{in}}-u_{1}\right)}{h_{\text{in}}-u_{\text{in}}}.
  • Substituindo os valores numéricos:
    • m_{1}=0{,}7487\\ \mathrm{kg},
    • u_{\text{in}}=2689{,}77\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg},
    • u_{1}=2551{,}3\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg},
    • h_{\text{in}}=3050{,}9\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
  • Numerador:
m_{1}(u_{\text{in}}-u_{1})=0{,}7487\cdot(2689{,}77-2551{,}3) =0{,}7487\cdot138{,}47 =103{,}66\\ \mathrm{kJ}.
  • Denominador:
h_{\text{in}}-u_{\text{in}}=3050{,}9-2689{,}77=361{,}13\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
  • Portanto
m_{\text{in}}=\dfrac{103{,}66}{361{,}13}=0{,}287\\ \mathrm{kg}\quad(\text{aprox.}).

Passo 6

Interpretação física final e checagens rápidas.
  • A massa que entrou é m_{\text{in}}\approx0{,}287\\ \mathrm{kg}.
  • Massa final no tanque: m_{2}=m_{1}+m_{\text{in}}\approx0{,}7487+0{,}287=1{,}036\\ \mathrm{kg}.
  • Verificação de coerência com volume específico final:
    • v_{2}=V/m_{2}=0{,}4/1{,}036\approx0{,}386\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}.
    • Esse v_{2} é consistente com um vapor superaquecido a 1{,}4\\ \mathrm{MPa} (ou seja, o fluido está no estado superaquecido no final), e como assumimos que o reservatório estava em 300^\circ\mathrm{C} a pressão final igual à do reservatório é física ecoerente com o modelo adotado.
Força motivadora: deu trabalho, mas chegaste lá — a massa de vapor que entrou é pequena (menos de meio quilo), o que é razoável para um volume pequeno de 0{,}4\\ \mathrm{m}^3.

Resposta

m_{\text{in}} \approx 0{,}287\\ \mathrm{kg}

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