(Do Exemplo 5.8 - Pág. 118)
Um cilindro provido de pistão apresenta volume inicial de 0.1 \mathrm{~m}^{3} e contém nitrogênio a 150 kPa e 25^{\circ} \mathrm{C}. Comprime-se o nitrogênio, movimentando o pistão, até que a pressão e a temperatura se tornem iguais a 1 MPa e 150^{\circ} \mathrm{C}. Durante esse processo, calor é transferido do nitrogênio e o trabalho realizado sobre o nitrogênio é 20 kJ . Determine o calor transferido no processo. (Modelo: Gás perfeito com calor específico constante - Tabela A.5).

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei os números diretamente do enunciado).
Dados:
  • Volume inicial: V_{1}=0,1\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Pressão inicial: p_{1}=150\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura inicial: T_{1}=25^\circ\mathrm{C}=298,15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão final: p_{2}=1\\ \mathrm{MPa}=1000\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura final: T_{2}=150^\circ\mathrm{C}=423,15\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho realizado sobre o nitrogênio (positivo quando feito sobre o sistema): W_{\text{on}}=20\\ \mathrm{kJ}.
  • Modelo: gás perfeito com calor específico constante (Tabela A.5). Usarei os valores da tabela para nitrogênio:
    • C_{v}=0,743\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
    • C_{p}=1,039\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
    • R=C_{p}-C_{v}=0,296\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (aprox. 0,2968, usarei 0,296 0,2968 conforme necessário).
O que se pede:
  • Determinar o calor transferido no processo, Q. (Se Q<0, o calor saiu do nitrogênio; se Q>0, entrou.)

Passo 2

Calcular a massa do nitrogênio usando a equação dos gases ideais:
pV = m R T,
onde p é a pressão absoluta, V o volume, m a massa, R a constante específica do gás e T a temperatura em kelvin.
Isolando m:
m=\frac{p_1 V_1}{R T_1}.
Explicação rápida: para um gás perfeito, a combinação pV é proporcional a T e a constante de proporcionalidade por massa é R. Aqui usamos p em \mathrm{kPa} e V em \mathrm{m^3} porque 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\\ \mathrm{kJ}, compatível com R em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Agora substituo valores (vou usar R=0,2968\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, valor mais preciso para N _2):
p_1 V_1 = 150\\ \mathrm{kPa}\times 0,1\\ \mathrm{m^3}=15\\ \mathrm{kJ}.
m=\frac{15}{0,2968\times 298,15}.
Faço a conta passo a passo:
0,2968\times 298,15 \approx 88,49\\ (\mathrm{kJ/kg}).
m \approx \frac{15}{88,49}\approx 0,1695\\ \mathrm{kg}.
Portanto a massa do nitrogênio no cilindro é aproximadamente m=0,1695\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a variação de energia interna \Delta U. Para um gás ideal com calor específico constante vale:
\Delta U = m C_{v} (T_{2}-T_{1}).
Explicação didática: para gás ideal a energia interna depende só da temperatura; C_{v} indica quanto de energia interna (por kg) muda quando a temperatura sobe 1 K. A unidade de C_{v} é \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, então m C_{v} \Delta T dá energia em kJ.
Substituindo:
\Delta T = T_{2}-T_{1}=423,15-298,15=125\\ \mathrm{K}.
\Delta U = 0,1695\times 0,743\times 125.
Faço a multiplicação em etapas:
0,743\times125=92,875\\ (\mathrm{kJ/kg}).
\Delta U \approx 0,1695\times 92,875 \approx 15,75\\ \mathrm{kJ}.
Logo \Delta U \approx 15,75\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Aplicar a primeira lei da termodinâmica para sistema fechado (balanço de energia):
\Delta U = Q - W_{\text{by}},
onde W_{\text{by}} é o trabalho realizado pelo sistema. Como o enunciado deu o trabalho realizado sobre o nitrogênio W_{\text{on}}=20\\ \mathrm{kJ}, relacionamos:
W_{\text{by}} = -W_{\text{on}} = -20\\ \mathrm{kJ}.
Substituindo em \Delta U = Q - W_{\text{by}}:
\Delta U = Q - (-W_{\text{on}}) = Q + W_{\text{on}}.
Isolando Q:
Q = \Delta U - W_{\text{on}}.
Agora substituo os valores numéricos:
Q = 15,75\\ \mathrm{kJ} - 20\\ \mathrm{kJ} = -4,25\\ \mathrm{kJ}.
Explicação de sinal: Q<0 significa que o nitrogênio perdeu calor durante o processo; o enunciado já disse “calor é transferido do nitrogênio”, então faz sentido físico — o trabalho feito sobre o gás aumentou sua energia interna, mas não tanto quanto a variação; para que a temperatura chegasse a 150^\circ\mathrm{C} e dada a compressão, uma parte da energia veio do trabalho e parte foi rejeitada como calor.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida:
  • A variação de energia interna calculada ( \approx 15,75\\ \mathrm{kJ}) é menor que o trabalho aplicado ( 20\\ \mathrm{kJ}), logo o sistema teve de perder calor para satisfazer a primeira lei — consistente com Q<0.
  • Valores de C_v e R usados são os da tabela para nitrogênio; pequenas diferenças na última casa decimal de R não mudariam o sinal e mudariam pouco o valor numérico final.

Resposta

Q=-4,25\\ \mathrm{kJ}

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