1. Um recipiente rígido e isolado com um volume de 20 l contém vapor d’água inicialmente na pressão de 300 k P a e na temperatura de 250^{\circ} C. O isolante é então retirado, ocorrendo transferência de calor para o ambiente. Calcular o calor transferido, sabendo-se que a pressão final é de 100 k P a(2,5 p).

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou listar tudo com as unidades convertidas para o SI):
  • Volume do recipiente: V=20\\ \text{L}=0{,}020\\ \text{m}^3.
  • Estado inicial do vapor d’água: pressão P_1=300\\ \text{kPa} e temperatura T_1=250^\circ\text{C}=523{,}15\\ \text{K}.
  • O recipiente é rígido (volume constante) e inicialmente isolado; depois o isolante é retirado, então ocorre troca de calor com o ambiente até um novo estado.
  • Pressão final: P_2=100\\ \text{kPa}.
    O que o problema pede:
  • Calcular o calor transferido Q durante o processo (sinal convencional: Q>0 se entra calor no sistema, Q<0 se sai calor do sistema).

Passo 2

Estratégia física básica (apenas descrição do que vamos aplicar, sem cálculo ainda):
  • Em corpo rígido sem deslocamento de pistão, o trabalho de fronteira W=\int P\,dV=0 (porque V constante). Assim, pela 1ª lei para sistema fechado:
Q=\Delta U = m\,(u_2-u_1),
onde m é a massa de vapor no recipiente e u é a energia interna específica (kJ/kg).
  • Logo precisamos de m, de u_1 (no estado inicial superaquecido) e de u_2 (no estado final a P_2). Como o volume é constante, a v específica não muda: v_1=v_2=V/m. Então:
    1. Determinar v_1 e obter m=V/v_1.
    2. Verificar o tipo do estado final (se fica superaquecido, saturado ou mistura) comparando v_2 com v_f e v_g na pressão P_2.
    3. Calcular u_1 e u_2 e então Q=m(u_2-u_1).

Passo 3

Calcular a volume específico inicial \;v_1 e a massa m.
  • Para vapor superaquecido é razoável usar a aproximação do gás ideal para obter v_1 quando não dispomos da tabela superaquecida: a equação de gás ideal é \;Pv=RT, onde R é a constante específica do vapor d’água.
  • Valor da constante do vapor d’água: \;R=0{,}4615\\ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}}=\dfrac{\text{kPa}\cdot\text{m}^3}{\text{kg}\cdot\text{K}}.
  • Calculando \;v_1:
v_1=\dfrac{R\,T_1}{P_1}=\dfrac{0{,}4615\cdot 523{,}15}{300}=0{,}8045\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Massa no recipiente:
m=\dfrac{V}{v_1}=\dfrac{0{,}020}{0{,}8045}=0{,}02487\\ \text{kg}\approx 0{,}0249\\ \text{kg}.

Passo 4

Determinar a natureza do estado final (usar propriedades saturadas em P_2):
  • Como o volume específico é constante, v_2=v_1=0{,}8045\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Agora consultamos a tabela de vapor saturado na pressão P_2=100\\ \text{kPa} (peguei estes valores da tabela de vapor saturado):
    • v_f(100\\ \text{kPa})=0{,}001043\\ \text{m}^3/\text{kg}.
    • v_g(100\\ \text{kPa})=1{,}694\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Comparando:
v_f=0{,}001043 < v_2=0{,}8045 < v_g=1{,}694,
portanto o estado final é uma mistura líquida+vapor (saturado) à pressão 100\\ \text{kPa}. Não é superaquecido nem líquido comprimido.

Passo 5

Calcular a qualidade final x_2 (fração mássica de vapor) a P_2:
  • Definição de volume específico em mistura:
v_2 = v_f + x_2 (v_g-v_f).
  • Logo
x_2=\dfrac{v_2-v_f}{v_g-v_f}=\dfrac{0{,}8045-0{,}001043}{1{,}694-0{,}001043}=\dfrac{0{,}80346}{1{,}69296}=0{,}4747\approx 0{,}475.
  • Interpretação: no fim temos cerca de 47{,}5\% em massa de vapor saturado e o resto líquido.

Passo 6

Calcular as energias internas específicas u_2 (mistura na pressão 100\\ \text{kPa}) e u_1 (estado inicial superaquecido).
  • Primeiro os valores saturados em 100\\ \text{kPa} (peguei estes dados da tabela saturada):
    • u_f(100\\ \text{kPa})\approx 419{,}04\\ \text{kJ/kg}.
    • u_g(100\\ \text{kPa})\approx 2675{,}87\\ \text{kJ/kg}.
    • Assim u_{fg}=u_g-u_f\approx 2256{,}83\\ \text{kJ/kg}.
  • Energia interna do estado final (mistura):
u_2=u_f+x_2\,u_{fg}=419{,}04+0{,}4747\cdot 2256{,}83=419{,}04+1071{,}42=1490{,}46\\ \text{kJ/kg}.
  • Agora u_1 no estado superaquecido (P_1=300\\ \text{kPa},\\ T_1=250^\circ\text{C}).
    • Não tendo aqui a tabela superaquecida, uso a propriedade para gases ideais: a energia interna de uma gás ideal depende só da temperatura. Então posso obter u_1 a partir de um valor conhecido de u numa temperatura de referência somando \int c_v\,dT.
    • Pego a referência na tabela: o valor u_g na temperatura de saturação a 100\\ \text{kPa} (que corresponde a T_{sat}\approx 99{,}61^\circ\text{C}=372{,}76\\ \text{K}) é u(372{,}76\\ \text{K})=2675{,}87\\ \text{kJ/kg} (este é o u_g que já citei).
    • Para vapor ideal aproximamos c_v aproximadamente constante na faixa de temperaturas entre 372{,}8\\ \text{K} e 523{,}15\\ \text{K}. Usarei um valor típico para vapor d’água: c_p\approx 1{,}996\\ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\quad\Rightarrow\quad c_v=c_p-R\approx 1{,}996-0{,}4615=1{,}5345\\ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}}.
    • Então a variação de energia interna entre T=372{,}76\\ \text{K} e T_1=523{,}15\\ \text{K} é aproximadamente
\Delta u = c_v\,(T_1-T_{sat})=1{,}5345\cdot(523{,}15-372{,}76)=1{,}5345\cdot150{,}39=230{,}78\\ \text{kJ/kg}.
  • Portanto
u_1\approx u_g(100\\ \text{kPa})+\Delta u=2675{,}87+230{,}78=2906{,}65\\ \text{kJ/kg}.
  • Observação didática: essa aproximação assume comportamento aproximadamente ideal do vapor na faixa de temperatura considerada e c_v quase constante; se houvesse acesso à tabela superaquecida usaríamos o valor tabelado de u_1.

Passo 7

Calcular o calor transferido Q.
  • Usando Q=m(u_2-u_1):
u_2-u_1=1490{,}46-2906{,}65=-1416{,}19\\ \text{kJ/kg}.
Q=m(u_2-u_1)=0{,}02487\cdot(-1416{,}19)=-35{,}22\\ \text{kJ}.
  • Interpretação: Q<0 significa que o sistema liberou calor para o ambiente. O valor absoluto indica que aproximadamente 35{,}2\\ \text{kJ} saíram do vapor durante o resfriamento até 100\\ \text{kPa}.

Resposta

Q\approx -35{,}2\\ \text{kJ} (ou seja, 35{,}2\\ \text{kJ} de calor foram liberados pelo sistema).

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