Exemplo 7.1- Considere o escoamento irreversível, adiabático e em estado estacionário, de um líquido incompressível através de um tubo horizontal com área da seção reta constante. Mostre que:
(a) A velocidade é constante.
(b) A temperatura aumenta no sentido do escoamento.
(c) A pressão diminui no sentido do escoamento.
(a) A velocidade é constante.
(b) A temperatura aumenta no sentido do escoamento.
(c) A pressão diminui no sentido do escoamento.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar três coisas sobre um escoamento:
(a) Que a velocidade é constante ao longo do tubo.
(b) Que a temperatura aumenta no sentido do escoamento.
(c) Que a pressão diminui no sentido do escoamento.
(b) Que a temperatura aumenta no sentido do escoamento.
(c) Que a pressão diminui no sentido do escoamento.
Informações dadas (todas devem ser usadas): escoamento irreversível, adiabático, em estado estacionário, de um líquido incompressível, através de um tubo horizontal com área da seção reta constante.
Variáveis que usarei e o que significam:
= massa específica do líquido (constante, pois o líquido é incompressível).
= área da seção reta do tubo (constante).
= velocidade do escoamento (campo que queremos relacionar).
= vazão mássica,
.
= entalpia específica do fluido; para líquido com calor específico praticamente constante,
.
= temperatura.
= pressão.
= cota vertical (o tubo é horizontal, logo
constante).
= perda de carga (perda de energia por unidade de massa) devido a fricção/irreversibilidade (sempre
para fluxo irreversível).
Passo 2
Mostrando (a): velocidade constante pela equação da continuidade.
A equação da continuidade para escoamento estacionário diz que a vazão mássica é constante ao longo do tubo:
Como o enunciado afirma que o líquido é incompressível (
constante) e a área da seção reta é constante (
constante), a única forma de
ser constante é que
também seja constante. Portanto:
Explicação didática curta: continuidade é conservação de massa. Se a mesma massa tem que passar por todas seções e densidade/área não mudam, a velocidade também não pode mudar.
Passo 3
Escrevendo a primeira lei da termodinâmica para escoamento em regime permanente (equação de energia entre duas seções 1 e 2).
A forma integral da energia para escoamento estacionário (por unidade de massa) pode ser escrita, agrupando energias de entalpia, cinética e potencial e incluindo perdas por atrito:
onde
é a perda de energia mecânica por unidade de massa devido à irreversibilidade (fricção, dissipação viscosa), e
. Observações sobre cada termo:
-
é entalpia específica (contém energia interna mais ). -
é energia cinética por unidade de massa. -
é energia potencial por unidade de massa. -
representa energia mecânica dissipada em calor interno do fluido por atrito.
Passo 4
Aplicando as hipóteses (horizontal, incompressível, área constante, estado estacionário, irreversível, adiabático) à equação de energia.
- O tubo é horizontal, então
e . - Pelo Passo 2, com área constante e líquido incompressível, temos
, logo .
Substituindo essas condições na equação de energia obtemos:
Reorganizando,
Cuidado com o sinal: se escrevemos a equação como foi dada inicialmente (energia total em 1 = energia total em 2 + perdas), então as perdas são extraídas da energia mecânica entre 1 e 2 e vão para aquecer o fluido internamente; em termos de incremento de entalpia do fluido que fica no trecho, a entalpia no ponto 2 será maior do que a que seria sem dissipação. Para ficar claro e consistente é mais prático escrever:
com
representando o aumento de entalpia por dissipação viscosa (essa é a energia mecânica convertida em entalpia do fluido). Em suma, há um termo positivo de dissipação que faz
.
Passo 5
Mostrando (b): a temperatura aumenta no sentido do escoamento.
Para líquidos (ou fluidos com
praticamente constante), a relação entre variação de entalpia e variação de temperatura é
onde
é o calor específico à pressão constante (constante aproximada para líquidos). Integrando do ponto 1 ao ponto 2 e usando
obtemos:
Como
, segue que
Interpretação física simples: a fricção interna (irreversibilidade) transforma energia mecânica em calor que fica no fluido (o sistema é adiabático, então esse calor não sai), aumentando a entalpia e, portanto, a temperatura.
Passo 6
Mostrando (c): a pressão diminui no sentido do escoamento.
Uma forma direta e muito usada em escoamentos incompressíveis é a versão de Bernoulli incluindo perda de carga
:
Com as hipóteses do problema (
) isso reduz-se a
Multiplicando por
:
Como
e
, segue que
. Em outras palavras, a pressão decresce no sentido do escoamento: o fluido perde pressão ao longo do tubo devido à dissipação por atrito. Fisicamente, parte da energia disponível sob forma de pressão é transformada em energia interna (calor) por atrito.
Passo 7
Interpretação termodinâmica curta ligando entalpia, pressão e entropia (opcional mas útil para reforçar entendimento).
A relação termodinâmica de Gibbs por unidade de massa é
onde
é o volume específico. Para processo adiabático irreversível
. Rearranjando:
Se
e
mudam pouco (aproximação razoável para líquido e pequenos incrementos), o termo
é positivo e corresponde à entalpia gerada pela dissipação; para que
não cresça indefinidamente,
deve ficar negativo ao longo do escoamento, ou seja, a pressão cai — o que está de acordo com o resultado do Passo 6. Essa equação só reforça: irreversibilidade aumenta entropia e isso aparece como elevação de entalpia (temperatura) e diminuição de pressão quando o fluxo é mantido (velocidade constante).
Resposta
(a) A velocidade é constante ao longo do tubo:
constante.
(b) A temperatura aumenta no sentido do escoamento: .
(c) A pressão diminui no sentido do escoamento: .
(b) A temperatura aumenta no sentido do escoamento:
(c) A pressão diminui no sentido do escoamento: