Exemplo 7.1- Considere o escoamento irreversível, adiabático e em estado estacionário, de um líquido incompressível através de um tubo horizontal com área da seção reta constante. Mostre que:
(a) A velocidade é constante.
(b) A temperatura aumenta no sentido do escoamento.
(c) A pressão diminui no sentido do escoamento.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três coisas sobre um escoamento:
(a) Que a velocidade é constante ao longo do tubo.
(b) Que a temperatura aumenta no sentido do escoamento.
(c) Que a pressão diminui no sentido do escoamento.
Informações dadas (todas devem ser usadas): escoamento irreversível, adiabático, em estado estacionário, de um líquido incompressível, através de um tubo horizontal com área da seção reta constante.
Variáveis que usarei e o que significam:
\rho = massa específica do líquido (constante, pois o líquido é incompressível).
A = área da seção reta do tubo (constante).
v = velocidade do escoamento (campo que queremos relacionar).
\dot m = vazão mássica, \dot m=\rho A v.
h = entalpia específica do fluido; para líquido com calor específico praticamente constante, dh \approx c_p\,dT.
T = temperatura.
p = pressão.
z = cota vertical (o tubo é horizontal, logo z constante).
h_L = perda de carga (perda de energia por unidade de massa) devido a fricção/irreversibilidade (sempre h_L>0 para fluxo irreversível).

Passo 2

Mostrando (a): velocidade constante pela equação da continuidade.
A equação da continuidade para escoamento estacionário diz que a vazão mássica é constante ao longo do tubo:
\dot m=\rho A v = \text{constante}.
Como o enunciado afirma que o líquido é incompressível ( \rho= constante) e a área da seção reta é constante ( A= constante), a única forma de \rho A v ser constante é que v também seja constante. Portanto:
v(x)=\text{constante ao longo do tubo.}
Explicação didática curta: continuidade é conservação de massa. Se a mesma massa tem que passar por todas seções e densidade/área não mudam, a velocidade também não pode mudar.

Passo 3

Escrevendo a primeira lei da termodinâmica para escoamento em regime permanente (equação de energia entre duas seções 1 e 2).
A forma integral da energia para escoamento estacionário (por unidade de massa) pode ser escrita, agrupando energias de entalpia, cinética e potencial e incluindo perdas por atrito:
h_1+\frac{v_1^2}{2}+g z_1 = h_2+\frac{v_2^2}{2}+g z_2 + h_L,
onde h_L é a perda de energia mecânica por unidade de massa devido à irreversibilidade (fricção, dissipação viscosa), e h_L\ge 0. Observações sobre cada termo:
  • h é entalpia específica (contém energia interna mais p/\rho).
  • \frac{v^2}{2} é energia cinética por unidade de massa.
  • g z é energia potencial por unidade de massa.
  • h_L representa energia mecânica dissipada em calor interno do fluido por atrito.

Passo 4

Aplicando as hipóteses (horizontal, incompressível, área constante, estado estacionário, irreversível, adiabático) à equação de energia.
  • O tubo é horizontal, então z_1=z_2 e g z_1 - g z_2 = 0.
  • Pelo Passo 2, com área constante e líquido incompressível, temos v_1=v_2=v, logo \frac{v_1^2}{2}=\frac{v_2^2}{2}.
    Substituindo essas condições na equação de energia obtemos:
h_1 = h_2 + h_L.
Reorganizando,
h_2 - h_1 = -h_L.
Cuidado com o sinal: se escrevemos a equação como foi dada inicialmente (energia total em 1 = energia total em 2 + perdas), então as perdas são extraídas da energia mecânica entre 1 e 2 e vão para aquecer o fluido internamente; em termos de incremento de entalpia do fluido que fica no trecho, a entalpia no ponto 2 será maior do que a que seria sem dissipação. Para ficar claro e consistente é mais prático escrever:
h_2 - h_1 = h_{\text{diss}},
com h_{\text{diss}}>0 representando o aumento de entalpia por dissipação viscosa (essa é a energia mecânica convertida em entalpia do fluido). Em suma, há um termo positivo de dissipação que faz h_2>h_1.

Passo 5

Mostrando (b): a temperatura aumenta no sentido do escoamento.
Para líquidos (ou fluidos com c_p praticamente constante), a relação entre variação de entalpia e variação de temperatura é
dh \approx c_p\,dT,
onde c_p é o calor específico à pressão constante (constante aproximada para líquidos). Integrando do ponto 1 ao ponto 2 e usando h_2-h_1=h_{\text{diss}}>0 obtemos:
c_p\,(T_2-T_1)=h_{\text{diss}}>0.
Como c_p>0, segue que
T_2-T_1>0\quad\Rightarrow\quad T_2>T_1.
Interpretação física simples: a fricção interna (irreversibilidade) transforma energia mecânica em calor que fica no fluido (o sistema é adiabático, então esse calor não sai), aumentando a entalpia e, portanto, a temperatura.

Passo 6

Mostrando (c): a pressão diminui no sentido do escoamento.
Uma forma direta e muito usada em escoamentos incompressíveis é a versão de Bernoulli incluindo perda de carga h_L:
\frac{p_1}{\rho}+\frac{v_1^2}{2}+g z_1 = \frac{p_2}{\rho}+\frac{v_2^2}{2}+g z_2 + h_L.
Com as hipóteses do problema ( v_1=v_2,\\ z_1=z_2) isso reduz-se a
\frac{p_1}{\rho} = \frac{p_2}{\rho} + h_L.
Multiplicando por \rho:
p_1 = p_2 + \rho\,h_L.
Como h_L>0 e \rho>0, segue que p_1>p_2. Em outras palavras, a pressão decresce no sentido do escoamento: o fluido perde pressão ao longo do tubo devido à dissipação por atrito. Fisicamente, parte da energia disponível sob forma de pressão é transformada em energia interna (calor) por atrito.

Passo 7

Interpretação termodinâmica curta ligando entalpia, pressão e entropia (opcional mas útil para reforçar entendimento).
A relação termodinâmica de Gibbs por unidade de massa é
T\,ds = dh - \nu\,dp,
onde \nu=1/\rho é o volume específico. Para processo adiabático irreversível ds>0. Rearranjando:
dh = T\,ds + \nu\,dp.
Se \nu e T mudam pouco (aproximação razoável para líquido e pequenos incrementos), o termo T\,ds>0 é positivo e corresponde à entalpia gerada pela dissipação; para que dh não cresça indefinidamente, dp deve ficar negativo ao longo do escoamento, ou seja, a pressão cai — o que está de acordo com o resultado do Passo 6. Essa equação só reforça: irreversibilidade aumenta entropia e isso aparece como elevação de entalpia (temperatura) e diminuição de pressão quando o fluxo é mantido (velocidade constante).

Resposta

(a) A velocidade é constante ao longo do tubo: v= constante.
(b) A temperatura aumenta no sentido do escoamento: T_2>T_1.
(c) A pressão diminui no sentido do escoamento: p_2<p_1.

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