Exercício 01. Considerando que a energia interna
e a entalpia
de um gás ideal possam ser escritas como funções de estado dependentes da temperatura
, volume
e pressão
do sistema, responda:
a) escreva os diferenciais totais de energia
e de entalpia
do gás ideal e justifique sem utilizar o critério de Euler se os mesmos são exatos ou inexatos;
a) escreva os diferenciais totais de energia
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para a gente trabalhar com duas funções importantes na termodinâmica: a energia interna $ E(T, V) = \frac{3}{2} n R T $ e a entalpia $ H(T, V) = E + P V $ de um gás ideal. A gente precisa escrever os diferenciais totais dessas funções e depois dizer se esses diferenciais são exatos ou não, tudo isso sem usar o critério de Euler. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são diferenciais totais e o conceito de funções exatas na termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o diferencial total. Se temos uma função que depende de duas variáveis, digamos $ f(x, y) $, o diferencial total $ df $ é dado por:
Isso significa que para calcular o diferencial total, a gente derivar a função em relação a cada variável, mantendo a outra constante, e depois multiplica pelas variações dessas variáveis.
Passo 3
Vamos começar com a energia interna $ E(T, V) = \frac{3}{2} n R T $. Aqui, $ E $ depende só da temperatura $ T $ e do volume $ V $. Para achar o diferencial total $ dE $, vamos derivar $ E $ em relação a $ T $ e a $ V $:
Primeiro, derivando em relação a $ T $:
Agora, derivando em relação a $ V $:
Porque $ E $ não depende de $ V $.
Então, o diferencial total de $ E $ fica:
Passo 4
Agora, vamos para a entalpia $ H(T, V) = E + P V $. Sabemos que $ P $ é a pressão, e para um gás ideal, a pressão está relacionada com $ T $ e $ V $ pela equação de estado:
Portanto, podemos reescrever $ H $ como:
Substituindo $ P $ da equação de estado:
Agora, vamos calcular o diferencial total $ dH $:
Passo 5
Até aqui, calculamos os diferenciais totais:
Agora, precisamos justificar se esses diferenciais são exatos ou inexatos. Uma forma de verificar isso é analisar se os diferenciais correspondem a funções de estado, ou seja, se são independentes do caminho seguido pelo processo.
Sabemos que tanto a energia interna $ E $ quanto a entalpia $ H $ são funções de estado no gás ideal. Isso significa que suas variações dependem apenas do estado inicial e final, e não do caminho percorrido. Portanto, os diferenciais $ dE $ e $ dH $ são diferenciais exatos.
Resposta
Os diferenciais totais são:
E ambos os diferenciais $ dE $ e $ dH $ são exatos.