Exercício 01. Considerando que a energia interna E(T, V)=3 / 2 n R T e a entalpia H(T, V)=E+P V de um gás ideal possam ser escritas como funções de estado dependentes da temperatura T, volume V e pressão P do sistema, responda:
a) escreva os diferenciais totais de energia d E e de entalpia d H do gás ideal e justifique sem utilizar o critério de Euler se os mesmos são exatos ou inexatos;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para a gente trabalhar com duas funções importantes na termodinâmica: a energia interna $ E(T, V) = \frac{3}{2} n R T $ e a entalpia $ H(T, V) = E + P V $ de um gás ideal. A gente precisa escrever os diferenciais totais dessas funções e depois dizer se esses diferenciais são exatos ou não, tudo isso sem usar o critério de Euler. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são diferenciais totais e o conceito de funções exatas na termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o diferencial total. Se temos uma função que depende de duas variáveis, digamos $ f(x, y) $, o diferencial total $ df $ é dado por:
f(x, y)
Isso significa que para calcular o diferencial total, a gente derivar a função em relação a cada variável, mantendo a outra constante, e depois multiplica pelas variações dessas variáveis.

Passo 3

Vamos começar com a energia interna $ E(T, V) = \frac{3}{2} n R T $. Aqui, $ E $ depende só da temperatura $ T $ e do volume $ V $. Para achar o diferencial total $ dE $, vamos derivar $ E $ em relação a $ T $ e a $ V $:
Primeiro, derivando em relação a $ T $:
E(T, V) = 32 n R T
Agora, derivando em relação a $ V $:
E
Porque $ E $ não depende de $ V $.
Então, o diferencial total de $ E $ fica:
T

Passo 4

Agora, vamos para a entalpia $ H(T, V) = E + P V $. Sabemos que $ P $ é a pressão, e para um gás ideal, a pressão está relacionada com $ T $ e $ V $ pela equação de estado:
H(T, V) = E + P V
Portanto, podemos reescrever $ H $ como:
P
Substituindo $ P $ da equação de estado:
T
Agora, vamos calcular o diferencial total $ dH $:
V

Passo 5

Até aqui, calculamos os diferenciais totais:
dE = 32 n R dT
dH = 52 n R dT
Agora, precisamos justificar se esses diferenciais são exatos ou inexatos. Uma forma de verificar isso é analisar se os diferenciais correspondem a funções de estado, ou seja, se são independentes do caminho seguido pelo processo.
Sabemos que tanto a energia interna $ E $ quanto a entalpia $ H $ são funções de estado no gás ideal. Isso significa que suas variações dependem apenas do estado inicial e final, e não do caminho percorrido. Portanto, os diferenciais $ dE $ e $ dH $ são diferenciais exatos.

Resposta

Os diferenciais totais são:
dE = 32 n R dT
dH = 52 n R dT
E ambos os diferenciais $ dE $ e $ dH $ são exatos.

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