Exercício 01. Considerando que a energia interna
e a entalpia
de um gás ideal possam ser escritas como funções de estado dependentes da temperatura
, volume
e pressão
do sistema, responda:
c) sabendo que a capacidade calorífica
do sistema é definida por
, demonstre que
. Explique o significado físico de capacidade calorífica, esclarecendo a razão para
ser maior que
.
c) sabendo que a capacidade calorífica
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre capacidade calorífica em gases ideais. A gente precisa demonstrar que a diferença entre a capacidade calorífica a pressão constante (
) e a capacidade calorífica a volume constante (
) é igual a
, onde
é o número de mols e
é a constante dos gases. Para isso, vamos usar as funções de energia interna
e entalpia
dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são capacidade calorífica. A capacidade calorífica (
) de um sistema é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura do sistema em uma unidade, ou seja,
.
-
: capacidade calorífica a volume constante. Aqui, o volume não muda durante o aquecimento. -
: capacidade calorífica a pressão constante. Aqui, a pressão se mantém constante durante o aquecimento.
Passo 3
Agora, vamos usar a relação entre entalpia
, energia interna
e pressão
:
Para um gás ideal, sabemos que:
Diferenciando a entalpia em relação à temperatura a pressão constante:
Mas para um gás ideal a
, então simplifica para:
Rearranjando:
Passo 4
Agora, vamos entender por que
é maior que
. Quando você aquece um gás a pressão constante, além de aumentar a temperatura, o volume também precisa aumentar para manter a pressão constante (devido à expansão térmica). Isso significa que parte do calor fornecido é usada para fazer o gás se expandir, além de aumentar a energia interna. Já a capacidade calorífica a volume constante só precisa aumentar a temperatura, já que o volume não muda e não há trabalho de expansão. Por isso,
inclui esse adicional de energia necessário para a expansão, tornando
maior que
.