Exercício 01. Considerando que a energia interna E(T, V)=3 / 2 n R T e a entalpia H(T, V)=E+P V de um gás ideal possam ser escritas como funções de estado dependentes da temperatura T, volume V e pressão P do sistema, responda:
c) sabendo que a capacidade calorífica C do sistema é definida por d Q=C d T, demonstre que CP-CV=n R. Explique o significado físico de capacidade calorífica, esclarecendo a razão para CP ser maior que CV.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre capacidade calorífica em gases ideais. A gente precisa demonstrar que a diferença entre a capacidade calorífica a pressão constante ( CP) e a capacidade calorífica a volume constante ( CV) é igual a nR, onde n é o número de mols e R é a constante dos gases. Para isso, vamos usar as funções de energia interna E(T, V) e entalpia H(T, V) dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são capacidade calorífica. A capacidade calorífica ( C) de um sistema é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura do sistema em uma unidade, ou seja, dQ = C , dT.
  • CV: capacidade calorífica a volume constante. Aqui, o volume não muda durante o aquecimento.
  • CP: capacidade calorífica a pressão constante. Aqui, a pressão se mantém constante durante o aquecimento.

Passo 3

Agora, vamos usar a relação entre entalpia H, energia interna E e pressão P:
H = E + PV
Para um gás ideal, sabemos que:
PV = nRT
Diferenciando a entalpia em relação à temperatura a pressão constante:
(partial Hpartial T)P = (partial Epartial T)V + P(partial Vpartial T)P + V(partial Ppartial T)V
Mas para um gás ideal a (partial Ppartial T)V = 0, então simplifica para:
CP = CV + nR
Rearranjando:
CP - CV = nR

Passo 4

Agora, vamos entender por que CP é maior que CV. Quando você aquece um gás a pressão constante, além de aumentar a temperatura, o volume também precisa aumentar para manter a pressão constante (devido à expansão térmica). Isso significa que parte do calor fornecido é usada para fazer o gás se expandir, além de aumentar a energia interna. Já a capacidade calorífica a volume constante só precisa aumentar a temperatura, já que o volume não muda e não há trabalho de expansão. Por isso, CP inclui esse adicional de energia necessário para a expansão, tornando CP maior que CV.

Resposta

CP - CV = nR

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