Exercício 01. Considerando que a energia interna
e a entalpia
de um gás ideal possam ser escritas como funções de estado dependentes da temperatura
, volume
e pressão
do sistema, responda:
b) considerando a
lei da termodinâmica, demonstre que os diferenciais de energia a volume constante e de entalpia a pressão constante podem ser respectivamente escritos por
e
;
b) considerando a
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de termodinâmica juntos! O enunciado fala sobre energia interna $ E(T, V) = \frac{3}{2} n R T $ e entalpia $ H(T, V) = E + P V $ de um gás ideal, que dependem da temperatura $ T $, volume $ V $ e pressão $ P
dE = dQ_V
dH = dQ_P $).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a 1ª lei da termodinâmica. Ela afirma que a variação da energia interna ($ dE
dQ
dW $):
Aqui, o trabalho $ dW $ feito pelo sistema é geralmente dado por:
Onde $ P $ é a pressão e $ dV $ é a variação de volume.
Passo 3
Agora, vamos analisar o caso *a)* a volume constante ($ dV = 0 $).
Substituindo $ dV = 0 $ na equação do trabalho:
Então, a 1ª lei fica:
Isso significa que, a volume constante, a variação da energia interna é igual ao calor recebido. Por isso, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos para o caso *b)* a pressão constante ($ dP = 0 $).
Primeiro, lembramos que a entalpia $ H $ é definida por:
Para encontrar o diferencial de $ H $, derivamos os dois lados:
Como estamos considerando a pressão constante ($ dP = 0 $):
Passo 5
Usando novamente a 1ª lei da termodinâmica:
Substituindo $ dE $ na equação de $ dH $:
Então, a variação da entalpia a pressão constante é igual ao calor recebido. Podemos escrever:
Resposta
Assim, demonstramos que a variação da energia interna a volume constante é $ dE = dQ_V $ e a variação da entalpia a pressão constante é $ dH = dQ_P $, conforme exigido pela 1ª lei da termodinâmica.