Exercício 01. Considerando que a energia interna E(T, V)=3 / 2 n R T e a entalpia H(T, V)=E+P V de um gás ideal possam ser escritas como funções de estado dependentes da temperatura T, volume V e pressão P do sistema, responda:
b) considerando a 1^a lei da termodinâmica, demonstre que os diferenciais de energia a volume constante e de entalpia a pressão constante podem ser respectivamente escritos por d E=d QV e d H=d QP ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de termodinâmica juntos! O enunciado fala sobre energia interna $ E(T, V) = \frac{3}{2} n R T $ e entalpia $ H(T, V) = E + P V $ de um gás ideal, que dependem da temperatura $ T $, volume $ V $ e pressão $ P E(T, V) = 32 n R T ªâé dE = dQ_V H(T, V) = E + P V ãé dH = dQ_P $).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a 1ª lei da termodinâmica. Ela afirma que a variação da energia interna ($ dE dE é dQ dQ dW $):
dW
Aqui, o trabalho $ dW $ feito pelo sistema é geralmente dado por:
dE = dQ - dW
Onde $ P $ é a pressão e $ dV $ é a variação de volume.

Passo 3

Agora, vamos analisar o caso *a)* a volume constante ($ dV = 0 $).
Substituindo $ dV = 0 $ na equação do trabalho:
dV = 0
Então, a 1ª lei fica:
dV = 0
dW = P times 0 = 0
Isso significa que, a volume constante, a variação da energia interna é igual ao calor recebido. Por isso, podemos escrever:
dE = dQ - 0

Passo 4

Agora, vamos para o caso *b)* a pressão constante ($ dP = 0 $).
Primeiro, lembramos que a entalpia $ H $ é definida por:
dP = 0
Para encontrar o diferencial de $ H $, derivamos os dois lados:
H
Como estamos considerando a pressão constante ($ dP = 0 $):
H = E + P V

Passo 5

Usando novamente a 1ª lei da termodinâmica:
dE = dQ - P dV
Substituindo $ dE $ na equação de $ dH $:
dE
dH
Então, a variação da entalpia a pressão constante é igual ao calor recebido. Podemos escrever:
dH = (dQ - P dV) + P dV

Resposta

Assim, demonstramos que a variação da energia interna a volume constante é $ dE = dQ_V $ e a variação da entalpia a pressão constante é $ dH = dQ_P $, conforme exigido pela 1ª lei da termodinâmica.

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