Exercício 09: Um inventor propõe extrair água a 100^{\circ} \mathrm{C} de uma fonte termal e usá-la para alimentar um motor térmico. A atmosfera está a 20^{\circ} \mathrm{C}. O motor proposto operaria com taxa de fluxo de 150 \mathrm{~kg} / \mathrm{min} e produziria 50 hp , segundo o inventor. Comente sobre a viabilidade da proposta usando números calculados.

Passo 1

O enunciado propõe usar água a 100^\circ\mathrm{C} (fonte quente) para alimentar um motor térmico que rejeita calor à atmosfera a 20^\circ\mathrm{C}. O inventor diz que, com fluxo de 150\\ \mathrm{kg/min} de água, o motor produziria 50 hp. Para avaliar a viabilidade, vamos usar:
– Teoria do ciclo de Carnot para obter a eficiência máxima possível.
– Cálculo do calor disponível pela água ao se resfriar de 100^\circ\mathrm{C} a 20^\circ\mathrm{C}.
– Comparação entre a potência teórica máxima e os 50 hp propostos.

Passo 2

Convertemos as temperaturas para Kelvin e calculamos a eficiência de Carnot:
T_h = 100+273 = 373\\ \mathrm{K},\quad T_c = 20+273 = 293\\ \mathrm{K}.
A eficiência máxima é
\eta_{\mathrm{Carnot}} =1-\frac{T_c}{T_h} =1-\frac{293}{373} \approx0{,}2145\quad(21{,}45\%).

Passo 3

Calculamos o calor que pode ser extraído da água por segundo. A vazão mássica é
\dot m = \frac{150\\ \mathrm{kg/min}}{60} =2{,}5\\ \mathrm{kg/s}.
Assumindo calor específico da água c_p = 4184\\ \mathrm{J/(kg\,K)} e variação de temperatura \Delta T =100-20=80\\ \mathrm{K}, o fluxo de calor é
\dot Q_{\mathrm{in}} =\dot m\,c_p\,\Delta T =2{,}5\cdot4184\cdot80 \approx8{,}368\times10^5\\ \mathrm{W} \;(836{,}8\\ \mathrm{kW}).

Passo 4

A potência máxima teórica aproveitando o ciclo de Carnot seria
\dot W_{\max} =\eta_{\mathrm{Carnot}}\;\dot Q_{\mathrm{in}} \approx0{,}2145\times836{,}8\\ \mathrm{kW} \approx179{,}5\\ \mathrm{kW}.
Convertendo para horsepower:
1\\ \mathrm{hp}=745{,}7\\ \mathrm{W} \quad\Longrightarrow\quad \dot W_{\max} \approx\frac{179{,}5\times10^3}{745{,}7} \approx240{,}8\\ \mathrm{hp}.

Passo 5

Comparando:
– Potência máxima teórica: \approx240{,}8 hp.
– Potência proposta pelo inventor: 50 hp.
Como 50\ll240{,}8, a potência desejada está bem abaixo do limite de Carnot. O motor precisaria de uma eficiência real de
\eta_{\mathrm{req}} =\frac{50\times745{,}7}{836{,}8\times10^3} \approx0{,}0446 \;(4{,}46\%),
o que é perfeitamente factível para motores térmicos atuais.

Resposta

A proposta é viável em princípio: o ciclo de Carnot permitiria até cerca de 240{,}8 hp com esse fluxo de água, e o inventor quer apenas 50 hp (eficiência real necessária de \sim4{,}5\%, facilmente atingível).

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