Um mol de gás ideal, com \mathrm{Cp}=29,1 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{mol}{ }^{*} \mathrm{~K}\right), e inicialmente a pressão atmosférica e 298,15 \mathrm{~K} passa por um ciclo formado pelas seguintes etapas:
  1. Compressão adiabática até atingir 8 atm;
  2. Expansão isotérmica até 4 atm;
  3. Expansão adiabática até atingir a temperatura inicial ( 298,15 \mathrm{~K} );
  4. Processo isotérmico até o estado inicial;
Calcule o calor (Q), o trabalho (W) e as variações de energia interna ( \Delta \mathrm{U} ) e entalpia ( \Delta \mathrm{H} ) para cada etapa, e para o ciclo completo.
Dado: Nos processos adiabáticos considere válida a equação: T2/T1
=(P 2 / P 1)^{\wedge} R / C p$

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de um mol de gás ideal com \displaystyle C_{p}=29{,}1 J mo l^{-} ^{1} K^{-} ^{1}, partindo de P_{1}=1 atm e T_{1}=298{,}15 K. As etapas são:
1) compressão adiabática até P_{2}=8 atm,
2) expansão isotérmica até P_{3}=4 atm,
3) expansão adiabática até T_{4}=T_{1},
4) compressão isotérmica de volta ao estado inicial.
Para resolver, usaremos a relação adiabática
\frac{T_2}{T_1} \;=\;\Bigl(\frac{P_2}{P_1}\Bigr)^{\!\frac{R}{C_p}}
com R=8{,}314 J mo l^{-} ^{1} K^{-} ^{1} e C_v=C_p-R, e as fórmulas de trabalho e calor em processos adiabáticos ( Q=0, \Delta U=nC_v\,\Delta T) e isotérmicos ( \Delta U=0, W=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}, Q=W). Em cada passo calcularemos T, Q, W, \Delta U e \Delta H.

Passo 2

Etapa 1 (compressão adiabática de P_{1}=1 atm e T_{1}=298{,}15 K para P_{2}=8 atm):
T_2 \;=\;T_1\;\Bigl(\tfrac{P_2}{P_1}\Bigr)^{\!\frac{R}{C_p}} =298{,}15\cdot 8^{\frac{8{,}314}{29{,}1}} \approx539{,}9\text{ K}.
Como Q_1=0 e C_v=C_p-R=29{,}1-8{,}314=20{,}786 J mo l^{-} ^{1} K^{-} ^{1},
\Delta U_1 = n\,C_v\,(T_2-T_1) =1\cdot20{,}786\,(539{,}9-298{,}15) \approx+5026\text{ J},
W_1 = Q_1 - \Delta U_1 = -5026\text{ J}, \qquad \Delta H_1 = n\,C_p\,(T_2-T_1)\approx+7035\text{ J}.

Passo 3

Etapa 2 (expansão isotérmica a T_2=539{,}9 K de P_2=8 atm para P_3=4 atm):
Aqui \Delta U_2=0 e Q_2=W_2. Como V\propto1/P,
W_2 = nR\,T_2\ln\frac{V_3}{V_2} = nR\,T_2\ln\frac{P_2}{P_3} =1\cdot8{,}314\cdot539{,}9\cdot\ln2 \approx3109\text{ J}.
Logo
Q_2=+3109\text{ J}, \quad\Delta U_2=0, \quad\Delta H_2=0.

Passo 4

Etapa 3 (expansão adiabática de P_3=4 atm e T_3=T_2 até T_4=T_1=298{,}15 K):
Primeiro achamos P_4 via
\frac{T_4}{T_3}=\Bigl(\tfrac{P_4}{P_3}\Bigr)^{\!\frac{R}{C_p}} \;\Longrightarrow\; P_4 =4\;\Bigl(\tfrac{298{,}15}{539{,}9}\Bigr)^{\frac{29{,}1}{8{,}314}} \approx0{,}5\text{ atm}.
Como Q_3=0,
\Delta U_3 = n\,C_v\,(T_4-T_3) =20{,}786\,(298{,}15-539{,}9) \approx-5026\text{ J},
W_3 = Q_3 - \Delta U_3 = +5026\text{ J}, \qquad \Delta H_3 = n\,C_p\,(T_4-T_3)\approx-7035\text{ J}.

Passo 5

Etapa 4 (compressão isotérmica de P_4=0{,}5 atm para P_1=1 atm a T_4=T_1):
De novo \Delta U_4=0,
W_4 = nR\,T_1\ln\frac{V_1}{V_4} =8{,}314\cdot298{,}15\cdot\ln\frac{0{,}5}{1} \approx-1719\text{ J},
e portanto
Q_4=W_4\approx-1719\text{ J}, \quad \Delta H_4=0.

Passo 6

Somando tudo para o ciclo completo:
\Delta U_{\mathrm{tot}}=\sum_{i=1}^4\Delta U_i =+5026+0-5026+0=0, \quad \Delta H_{\mathrm{tot}}=0,
Q_{\mathrm{tot}}=\sum_{i=1}^4Q_i =0+3109+0-1719\approx+1390\text{ J}, \quad W_{\mathrm{tot}}=\sum_{i=1}^4W_i =-5026+3109+5026-1719\approx+1390\text{ J}.

Resposta

Etapa 1: Q_1=0, W_1=-5026 J, \Delta U_1=+5026 J, \Delta H_1=+7035 J
Etapa 2: Q_2=+3109 J, W_2=+3109 J, \Delta U_2=0, \Delta H_2=0
Etapa 3: Q_3=0, W_3=+5026 J, \Delta U_3=-5026 J, \Delta H_3=-7035 J
Etapa 4: Q_4=-1719 J, W_4=-1719 J, \Delta U_4=0, \Delta H_4=0
Ciclo completo: Q_{\mathrm{tot}}=+1390 J, W_{\mathrm{tot}}=+1390 J, \Delta U_{\mathrm{tot}}=0, \Delta H_{\mathrm{tot}}=0.

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