Exercicio 10. Sem utilizar o critério de Euler, justifique o fato de
ser exato.
Passo 1
O enunciado pede: justificar, sem usar o critério de Euler, que
é exato.
Informações que vamos usar (supostas pelo contexto físico-clássico do problema):
-
é a energia cinética do sistema, escrita em coordenadas generalizadas e velocidades generalizadas . - Em geral podemos escrever
onde os coeficientes satisfazem
(a matriz
é simétrica).
- O que se quer provar: a diferencial
(ou, mais concretamente, a 1-forma no espaço das velocidades) é uma forma exata — isto é, é o diferencial de alguma função escalar (no caso, de mesma vista como função de ).
Passo 2
O que significa “ser exato” (explicação didática, passo a passo):
- Uma 1-forma
é exata se existe uma função tal que , isto é, para todo . - Uma condição prática (e frequentemente usada) é: se os coeficientes
têm derivadas parciais contínuas e satisfazem as condições de integrabilidade
então
é fechada. Em um domínio simplesmente conexo, forma fechada implica forma exata (teorema de Poincaré local/global).
- Aqui vamos aplicar essa verificação de integrabilidade às componentes
em relação às variáveis .
Passo 3
Calcular explicitamente as derivadas parciais de
em relação às velocidades (explicando cada passo):
- Começamos de
- Para obter
, derivamos termo a termo. Cada termo ao derivar em relação a dá
onde
é o delta de Kronecker (igual a
se
, senão
). Somando sobre
obtemos
- Usando a simetria
, as duas somas são iguais, portanto
Isto é uma expressão linear nas velocidades para cada componente.
Passo 4
Verificar a condição de integrabilidade (igualdade das derivadas cruzadas):
- Calcule a derivada parcial de
em relação a :
- De modo análogo,
- Como
, obtemos
- Portanto as componentes
satisfazem as condições de integrabilidade (as derivadas cruzadas coincidem).
Passo 5
Conclusão lógica a partir da condição de integrabilidade:
- As igualdades das derivadas cruzadas mostram que a 1-forma
é fechada (isto é,
quando se considera diferenciação no espaço das variáveis
).
- Se o domínio das variáveis
for simplesmente conexo (condição usual: espaço das velocidades é ou um aberto conexo nele), então forma fechada implica forma exata. Logo existe uma função tal que . - Mas a própria construção mostra que essa função é
(vista como função de com fixos): de fato satisfaz . Portanto é exata.
Passo 6
Exemplo simples para fixar a ideia (mão na massa):
- Caso unidimensional:
. -
. Derivando novamente em dá . - Como só há uma variável, a condição de derivadas cruzadas é tautologicamente satisfeita, e
. Logo é exato no exemplo — e o raciocínio escala para variáveis.
Passo 7
Observação final e vínculo com o critério de Euler:
- Aqui não foi usado o critério de Euler sobre funções homogêneas. A demonstração se baseou apenas na expressão quadrática de
, na simetria dos coeficientes e na igualdade das derivadas mistas (condição de integrabilidade / teorema de Schwarz). - Assim, sem Euler, provou‑se que a 1-forma dada pelas derivadas de
em relação às velocidades é fechada e, num domínio apropriado, exata — ou seja, é exato.