Exercicio 10. Sem utilizar o critério de Euler, justifique o fato de d T ser exato.

Passo 1

O enunciado pede: justificar, sem usar o critério de Euler, que dT é exato.
Informações que vamos usar (supostas pelo contexto físico-clássico do problema):
  • T é a energia cinética do sistema, escrita em coordenadas generalizadas q=(q_1,\dots,q_n) e velocidades generalizadas \dot q=(\dot q_1,\dots,\dot q_n).
  • Em geral podemos escrever
T(q,\dot q)=\tfrac12\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(q)\,\dot q_i\,\dot q_j,
onde os coeficientes satisfazem a_{ij}(q)=a_{ji}(q) (a matriz A(q)=(a_{ij}) é simétrica).
  • O que se quer provar: a diferencial dT (ou, mais concretamente, a 1-forma \displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{\partial T}{\partial \dot q_i}\,d\dot q_i no espaço das velocidades) é uma forma exata — isto é, é o diferencial de alguma função escalar (no caso, de T mesma vista como função de \dot q).

Passo 2

O que significa “ser exato” (explicação didática, passo a passo):
  • Uma 1-forma \omega=\sum_{i=1}^n A_i(x)\,dx_i é exata se existe uma função F(x) tal que \omega=dF, isto é, A_i=\dfrac{\partial F}{\partial x_i} para todo i.
  • Uma condição prática (e frequentemente usada) é: se os coeficientes A_i têm derivadas parciais contínuas e satisfazem as condições de integrabilidade
\frac{\partial A_i}{\partial x_j}=\frac{\partial A_j}{\partial x_i}\quad\text{para todos }i,j,
então \omega é fechada. Em um domínio simplesmente conexo, forma fechada implica forma exata (teorema de Poincaré local/global).
  • Aqui vamos aplicar essa verificação de integrabilidade às componentes \dfrac{\partial T}{\partial \dot q_i} em relação às variáveis \dot q_j.

Passo 3

Calcular explicitamente as derivadas parciais de T em relação às velocidades (explicando cada passo):
  • Começamos de
T(q,\dot q)=\tfrac12\sum_{i,j} a_{ij}(q)\,\dot q_i\,\dot q_j.
  • Para obter \dfrac{\partial T}{\partial \dot q_k}, derivamos termo a termo. Cada termo \tfrac12 a_{ij}\dot q_i\dot q_j ao derivar em relação a \dot q_k
\tfrac12 a_{ij}\bigl(\delta_{ik}\dot q_j+\dot q_i\delta_{jk}\bigr),
onde \delta_{ik} é o delta de Kronecker (igual a 1 se i=k, senão 0). Somando sobre i,j obtemos
\frac{\partial T}{\partial \dot q_k} =\tfrac12\sum_{i,j} a_{ij}\bigl(\delta_{ik}\dot q_j+\dot q_i\delta_{jk}\bigr) =\tfrac12\sum_{j} a_{kj}\dot q_j+\tfrac12\sum_{i} a_{ik}\dot q_i.
  • Usando a simetria a_{ik}=a_{ki}, as duas somas são iguais, portanto
\frac{\partial T}{\partial \dot q_k}=\sum_{j=1}^n a_{kj}(q)\,\dot q_j.
Isto é uma expressão linear nas velocidades para cada componente.

Passo 4

Verificar a condição de integrabilidade (igualdade das derivadas cruzadas):
  • Calcule a derivada parcial de \dfrac{\partial T}{\partial \dot q_i} em relação a \dot q_j:
\frac{\partial}{\partial \dot q_j}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}\right) =\frac{\partial}{\partial \dot q_j}\!\left(\sum_{k} a_{ik}(q)\,\dot q_k\right) = a_{ij}(q).
  • De modo análogo,
\frac{\partial}{\partial \dot q_i}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\right)=a_{ji}(q).
  • Como a_{ij}=a_{ji}, obtemos
\frac{\partial}{\partial \dot q_j}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}\right) =\frac{\partial}{\partial \dot q_i}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\right) \quad\text{para todos }i,j.
  • Portanto as componentes \dfrac{\partial T}{\partial \dot q_i} satisfazem as condições de integrabilidade (as derivadas cruzadas coincidem).

Passo 5

Conclusão lógica a partir da condição de integrabilidade:
  • As igualdades das derivadas cruzadas mostram que a 1-forma
\omega := \sum_{i=1}^n \frac{\partial T}{\partial \dot q_i}\,d\dot q_i
é fechada (isto é, \mathrm{d}\omega=0 quando se considera diferenciação no espaço das variáveis \dot q).
  • Se o domínio das variáveis \dot q for simplesmente conexo (condição usual: espaço das velocidades é \mathbb{R}^n ou um aberto conexo nele), então forma fechada implica forma exata. Logo existe uma função F(\dot q) tal que \omega=dF.
  • Mas a própria construção mostra que essa função é T (vista como função de \dot q com q fixos): de fato F(\dot q)=T(q,\dot q) satisfaz \dfrac{\partial F}{\partial \dot q_i}=\dfrac{\partial T}{\partial \dot q_i}. Portanto dT=\omega é exata.

Passo 6

Exemplo simples para fixar a ideia (mão na massa):
  • Caso unidimensional: T=\tfrac12 m\dot x^2.
  • \dfrac{\partial T}{\partial \dot x}=m\dot x. Derivando novamente em \dot x \dfrac{\partial}{\partial \dot x}(m\dot x)=m.
  • Como só há uma variável, a condição de derivadas cruzadas é tautologicamente satisfeita, e \omega=(m\dot x)\,d\dot x=d(\tfrac12 m\dot x^2)=dT. Logo dT é exato no exemplo — e o raciocínio escala para n variáveis.

Passo 7

Observação final e vínculo com o critério de Euler:
  • Aqui não foi usado o critério de Euler sobre funções homogêneas. A demonstração se baseou apenas na expressão quadrática de T, na simetria dos coeficientes a_{ij} e na igualdade das derivadas mistas (condição de integrabilidade / teorema de Schwarz).
  • Assim, sem Euler, provou‑se que a 1-forma dada pelas derivadas de T em relação às velocidades é fechada e, num domínio apropriado, exata — ou seja, dT é exato.

Resposta

dT é exato porque, escrevendo T(q,\dot q)=\tfrac12\sum_{i,j}a_{ij}(q)\dot q_i\dot q_j com a_{ij}=a_{ji}, tem‑se \dfrac{\partial T}{\partial \dot q_i}=\sum_{k}a_{ik}(q)\dot q_k e portanto
\dfrac{\partial}{\partial \dot q_j}\!\bigl(\dfrac{\partial T}{\partial \dot q_i}\bigr)=a_{ij}=a_{ji}=\dfrac{\partial}{\partial \dot q_i}\!\bigl(\dfrac{\partial T}{\partial \dot q_j}\bigr); assim a 1‑forma \sum_i\dfrac{\partial T}{\partial \dot q_i}\,d\dot q_i é fechada e, em domínio simplesmente conexo, é exata (igual a dT).

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