Exercício 09. Qual o diferencial total para a temperature d T de um gás ideal?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o diferencial total para a temperatura dT de um gás ideal?”
Informações dadas/assumidas (padrão para gás ideal):
  • Equação do gás ideal: PV = n R T,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases (constante) e T a temperatura.
  • A temperatura T deve ser tratada como função das variáveis P, V e n: T=T(P,V,n).
    O objetivo é obter o diferencial total dT em termos de diferenças pequenas dP, dV e dn.

Passo 2

Breve revisão do conceito que vamos usar: diferencial total.
Se uma função depende de várias variáveis independentes, T=T(P,V,n), o diferencial total é dado por
dT = \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V,n} dP + \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P,n} dV + \left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_{P,V} dn.
Isto significa que para calcular dT precisamos encontrar as derivadas parciais de T em relação a cada variável mantendo as demais fixas.

Passo 3

Expressar T explicitamente em função de P, V e n a partir da equação do gás ideal. Isolando T:
T = \frac{P V}{n R}.
Agora T está escrita como produto/razão de P, V e n, e podemos calcular as derivadas parciais.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais necessárias (manter as outras variáveis fixas em cada caso):
  1. Derivada parcial em relação a P (com V,n constantes):
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V,n} = \frac{V}{nR}.
  1. Derivada parcial em relação a V (com P,n constantes):
\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P,n} = \frac{P}{nR}.
  1. Derivada parcial em relação a n (com P,V constantes). Aqui T = (PV)/(nR) é proporcional a 1/n, então
\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_{P,V} = -\frac{PV}{n^2 R}.
(é a regra da derivada de 1/n: \frac{d}{dn}(n^{-1})=-n^{-2}).

Passo 5

Substituir as derivadas parciais na fórmula do diferencial total:
dT = \frac{V}{nR}\,dP + \frac{P}{nR}\,dV - \frac{PV}{n^2 R}\,dn.
Podemos também fatorar 1/(nR) se quisermos:
dT = \frac{1}{nR}\left(V\,dP + P\,dV - \frac{PV}{n}\,dn\right).

Passo 6

Forma alternativa muito útil — relações entre variações relativas. Dividindo a expressão original T=\dfrac{PV}{nR} e diferenciando em forma logarítmica obtém-se:
\frac{dT}{T} = \frac{dP}{P} + \frac{dV}{V} - \frac{dn}{n}.
Essa forma é prática quando se trabalha com variações percentuais ou relativas.

Passo 7

Casos práticos simples:
  • Caso usual em muitos problemas (sistema fechado): n é constante, logo dn=0. Nesse caso a expressão simplifica para
dT = \frac{1}{nR}\left(P\,dV + V\,dP\right)
ou, em forma relativa,
\frac{dT}{T} = \frac{dP}{P} + \frac{dV}{V}.
  • Interpretação rápida: aumentos pequenos em P ou em V tendem a aumentar T (quando n fixo), e aumento em n tende a reduzir T se P e V são mantidos.

Resposta

dT = \frac{V}{nR}\,dP + \frac{P}{nR}\,dV - \frac{PV}{n^2 R}\,dn.
\text{Se }dn=0:\quad dT = \frac{1}{nR}\left(P\,dV + V\,dP\right).

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