Exercício 09. Qual o diferencial total para a temperature
de um gás ideal?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual o diferencial total para a temperatura
de um gás ideal?”
Informações dadas/assumidas (padrão para gás ideal):
Informações dadas/assumidas (padrão para gás ideal):
- Equação do gás ideal:
onde
é a pressão,
o volume,
o número de mols,
a constante universal dos gases (constante) e
a temperatura.
- A temperatura
deve ser tratada como função das variáveis , e : .
O objetivo é obter o diferencial totalem termos de diferenças pequenas , e .
Passo 2
Breve revisão do conceito que vamos usar: diferencial total.
Se uma função depende de várias variáveis independentes, , o diferencial total é dado por
Se uma função depende de várias variáveis independentes,
Isto significa que para calcular
precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada variável mantendo as demais fixas.
Passo 3
Expressar
explicitamente em função de
,
e
a partir da equação do gás ideal. Isolando
:
Agora
está escrita como produto/razão de
,
e
, e podemos calcular as derivadas parciais.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais necessárias (manter as outras variáveis fixas em cada caso):
- Derivada parcial em relação a
(com constantes):
- Derivada parcial em relação a
(com constantes):
- Derivada parcial em relação a
(com constantes). Aqui é proporcional a , então
(é a regra da derivada de
:
).
Passo 5
Substituir as derivadas parciais na fórmula do diferencial total:
Podemos também fatorar
se quisermos:
Passo 6
Forma alternativa muito útil — relações entre variações relativas. Dividindo a expressão original
e diferenciando em forma logarítmica obtém-se:
Essa forma é prática quando se trabalha com variações percentuais ou relativas.
Passo 7
Casos práticos simples:
- Caso usual em muitos problemas (sistema fechado):
é constante, logo . Nesse caso a expressão simplifica para
ou, em forma relativa,
- Interpretação rápida: aumentos pequenos em
ou em tendem a aumentar (quando fixo), e aumento em tende a reduzir se e são mantidos.