Exercicio 06. Sem utilizar o critério de Euler, justifique o fato de d V ser exato.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que se tem: o enunciado solicita que se justifique, sem usar o critério de Euler, que dV é um diferencial exato. Não foram dados mais dados explícitos sobre V, então suponho o caso natural e mais geral: V é uma função diferenciável de n variáveis independentes (x_1,x_2,\dots,x_n). O pedido é, portanto, mostrar que a 1-forma dV é exata (isto é, que existe uma função cujo diferencial é exatamente dV), sem recorrer ao tal critério.

Passo 2

O que significa “diferencial exato” (definição e consequências importantes), explicado devagarinho.
  • Definição: uma 1-forma \omega é dita exata se existe uma função escalar \Phi tal que
\omega = d\Phi.
Ou seja, \omega é o diferencial total de alguma função \Phi.
  • Consequência operacional (importante na prática): se \omega é exata, então a integral de linha de \omega entre dois pontos depende apenas dos pontos finais e não do caminho escolhido; mais precisamente, para qualquer curva \gamma que liga A a B,
\int_{\gamma}\omega = \Phi(B)-\Phi(A).
Isso é um modo prático de reconhecer exatidão: existe uma primitiva cujo valor nas extremidades dá a integral.

Passo 3

Escrevendo explicitamente dV em coordenadas e entendendo o que cada termo significa.
Como V é função diferenciável de (x_1,\dots,x_n), o diferencial total de V é, por definição,
dV=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial V}{\partial x_i}\,dx_i.
Explicando cada símbolo:
  • \dfrac{\partial V}{\partial x_i} é a derivada parcial de V em relação a x_i (ou seja, como V varia quando só x_i muda).
  • dx_i é o diferencial da coordenada x_i.
    A expressão acima é exatamente a definição do diferencial total de V. Note: por definição, dV é o diferencial de uma função (que é V mesma).

Passo 4

Argumento direto (conceitual e completo) mostrando que dV é exato — sem usar qualquer critério de verificação de condições secundárias.
Pela própria definição de exatidão, se uma 1-forma é o diferencial total de alguma função, então ela é exata. Mas dV é, literalmente, o diferencial total da função V. Portanto, por definição,
dV = d(\,V\,),
isto é, dV tem primitiva explícita: a própria função V. Logo dV é exato — não há necessidade de verificar condições adicionais.
Para tornar essa ideia ainda mais palpável, usemos o teorema fundamental aplicado a curvas (isto evita usar qualquer teste de igualdade de derivadas parciais). Seja \gamma uma curva parametrizada por t\in[a,b] com \gamma(t)=(x_1(t),\dots,x_n(t)). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}V(\gamma(t))=\sum_{i=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}(\gamma(t))\frac{dx_i}{dt}(t).
Integrando ambos os lados de t=a a t=b obtemos o teorema fundamental:
V(\gamma(b))-V(\gamma(a))=\int_a^b \sum_{i=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}(\gamma(t))\frac{dx_i}{dt}(t)\,dt.
Mas a integral à direita é exatamente a integral de linha de dV ao longo de \gamma:
\int_\gamma dV=\int_a^b \sum_{i=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}(\gamma(t))\frac{dx_i}{dt}(t)\,dt.
Portanto
\int_\gamma dV=V(\text{fim})-V(\text{início}),í
isto é, a integral depende apenas dos pontos finais. Isso caracteriza uma 1-forma exata. Conclusão: dV é exato porque tem primitiva V e sua integral de linha é independente do caminho.

Passo 5

Exemplo concreto (para fixar a intuição): escolha V(x,y)=x^{2}y. Calcule dV e veja a independência de caminho entre (0,0) e (1,1).
  • Calculando o diferencial:
dV=\frac{\partial V}{\partial x}\,dx+\frac{\partial V}{\partial y}\,dy=(2xy)\,dx+(x^{2})\,dy.
  • Integral ao longo da reta y=x, parametrizada por x=t,\;y=t,\;t\in[0,1]:
\int_\gamma dV=\int_0^1\big(2t\cdot t + t^2\big)\,dt=\int_0^1 3t^2\,dt=\left[t^3\right]_0^1=1.
  • Integral ao longo do caminho em duas etapas (primeiro de (0,0) a (1,0) com y=0, depois de (1,0) a (1,1) com x=1):
    • Primeiro trecho: y=0 implica dV=0, integral 0.
    • Segundo trecho: x=1 implica dV = 1\cdot dy, integral \int_0^1 dy=1.
      Soma = 1. Ambos os caminhos deram o mesmo resultado, consistente com \int_\gamma dV = V(1,1)-V(0,0)=1-0=1. Isso ilustra concretamente a exatidão de dV.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (passo a passo lógico, resumido e motivador): por definição dV é o diferencial total da função V. Uma 1-forma que é o diferencial total de uma função tem essa função como primitiva, logo é exata. Alternativamente, integrando dV ao longo de qualquer curva obtém-se a diferença V(\text{fim})-V(\text{início})í, o que mostra independência de caminho e, portanto, exatidão. Tudo isso foi feito sem recorrer ao critério de Euler.

Resposta

dV é exato porque, por definição, é o diferencial total da função V; existe a primitiva V tal que dV=d(\,V\,), e para qualquer curva \gamma vale \displaystyle\int_{\gamma}dV=V(\text{fim})-V(\text{início})í, logo a integral é independente do caminho.

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