Exercicio 06. Sem utilizar o critério de Euler, justifique o fato de
ser exato.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que se tem: o enunciado solicita que se justifique, sem usar o critério de Euler, que
é um diferencial exato. Não foram dados mais dados explícitos sobre
, então suponho o caso natural e mais geral:
é uma função diferenciável de
variáveis independentes
. O pedido é, portanto, mostrar que a 1-forma
é exata (isto é, que existe uma função cujo diferencial é exatamente
), sem recorrer ao tal critério.
Passo 2
O que significa “diferencial exato” (definição e consequências importantes), explicado devagarinho.
- Definição: uma 1-forma
é dita exata se existe uma função escalar tal que
Ou seja,
é o diferencial total de alguma função
.
- Consequência operacional (importante na prática): se
é exata, então a integral de linha de entre dois pontos depende apenas dos pontos finais e não do caminho escolhido; mais precisamente, para qualquer curva que liga a ,
Isso é um modo prático de reconhecer exatidão: existe uma primitiva cujo valor nas extremidades dá a integral.
Passo 3
Escrevendo explicitamente
em coordenadas e entendendo o que cada termo significa.
Como
é função diferenciável de
, o diferencial total de
é, por definição,
Explicando cada símbolo:
-
é a derivada parcial de em relação a (ou seja, como varia quando só muda). -
é o diferencial da coordenada .
A expressão acima é exatamente a definição do diferencial total de. Note: por definição, é o diferencial de uma função (que é mesma).
Passo 4
Argumento direto (conceitual e completo) mostrando que
é exato — sem usar qualquer critério de verificação de condições secundárias.
Pela própria definição de exatidão, se uma 1-forma é o diferencial total de alguma função, então ela é exata. Mas
é, literalmente, o diferencial total da função
. Portanto, por definição,
isto é,
tem primitiva explícita: a própria função
. Logo
é exato — não há necessidade de verificar condições adicionais.
Para tornar essa ideia ainda mais palpável, usemos o teorema fundamental aplicado a curvas (isto evita usar qualquer teste de igualdade de derivadas parciais). Seja
uma curva parametrizada por
com
. Pela regra da cadeia,
Integrando ambos os lados de
a
obtemos o teorema fundamental:
Mas a integral à direita é exatamente a integral de linha de
ao longo de
:
Portanto
isto é, a integral depende apenas dos pontos finais. Isso caracteriza uma 1-forma exata. Conclusão:
é exato porque tem primitiva
e sua integral de linha é independente do caminho.
Passo 5
Exemplo concreto (para fixar a intuição): escolha
. Calcule
e veja a independência de caminho entre
e
.
- Calculando o diferencial:
- Integral ao longo da reta
, parametrizada por :
- Integral ao longo do caminho em duas etapas (primeiro de
a com , depois de a com ): - Primeiro trecho:
implica , integral . - Segundo trecho:
implica , integral .
Soma =. Ambos os caminhos deram o mesmo resultado, consistente com . Isso ilustra concretamente a exatidão de .
- Primeiro trecho:
Passo 6
Resumo final do raciocínio (passo a passo lógico, resumido e motivador): por definição
é o diferencial total da função
. Uma 1-forma que é o diferencial total de uma função tem essa função como primitiva, logo é exata. Alternativamente, integrando
ao longo de qualquer curva obtém-se a diferença
, o que mostra independência de caminho e, portanto, exatidão. Tudo isso foi feito sem recorrer ao critério de Euler.
Resposta
dV é exato porque, por definição, é o diferencial total da função
; existe a primitiva
tal que
, e para qualquer curva
vale
, logo a integral é independente do caminho.