Exercicio II Demonstre que d T é exato segundo o critério de Euler.

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre que \mathrm{d}T é um diferencial exato segundo o critério de Euler.
Informações implícitas que usarei (pressupostos necessários):
  • T é uma função com derivadas parciais contínuas de segunda ordem em um domínio convexo ou simplesmente conexo U\subset\mathbb{R}^n (ou seja, T\in C^2(U)).
  • O que vem a ser \mathrm{d}T: é a 1-forma
\mathrm{d}T=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial T}{\partial x_i}\,\mathrm{d}x_i.
  • O “critério de Euler” que vou usar aqui é o critério de integrabilidade (frequentemente chamado também de condição de igualdade das derivadas mistas / condição de exatidão): uma 1-forma
\omega=\sum_{i=1}^{n}P_i(x)\,\mathrm{d}x_i
é exata em um domínio simplesmente conexo se, e somente se, para todo i,j
\frac{\partial P_i}{\partial x_j}=\frac{\partial P_j}{\partial x_i}.
Meu objetivo: aplicar esse critério à 1-forma \mathrm{d}T e concluir que ela é exata.

Passo 2

Escrevendo explicitamente os coeficientes da 1-forma \mathrm{d}T: para cada i defino
P_i(x)=\frac{\partial T}{\partial x_i}(x).
Assim
\mathrm{d}T=\sum_{i=1}^{n}P_i(x)\,\mathrm{d}x_i.
Para aplicar o critério de exatidão preciso verificar a igualdade das derivadas parciais cruzadas \partial P_i/\partial x_j e \partial P_j/\partial x_i para todos i,j.

Passo 3

Calculo as derivadas mistas dos P_i. Como P_i=\partial T/\partial x_i, tem-se
\frac{\partial P_i}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}\!\left(\frac{\partial T}{\partial x_i}\right) =\frac{\partial^2 T}{\partial x_j\partial x_i}.
Do mesmo modo,
\frac{\partial P_j}{\partial x_i}=\frac{\partial^2 T}{\partial x_i\partial x_j}.

Passo 4

Uso a hipótese de continuidade das segundas derivadas parciais ( T\in C^2(U)). Pelo teorema de Clairaut (Teorema da igualdade das derivadas mistas),
\frac{\partial^2 T}{\partial x_j\partial x_i}=\frac{\partial^2 T}{\partial x_i\partial x_j} \quad\text{para todo \(i,j\) em \(U\).}
Logo para todo i,j
\frac{\partial P_i}{\partial x_j}=\frac{\partial P_j}{\partial x_i}.

Passo 5

Pelo critério de Euler (critério de integrabilidade / condição de exatidão) citado no Passo 1: se \omega=\sum P_i\,\mathrm{d}x_i satisfaz \partial P_i/\partial x_j=\partial P_j/\partial x_i em um domínio simplesmente conexo, então existe uma função potencial \Phi tal que \omega=\mathrm{d}\Phi. No nosso caso tomamos \omega=\mathrm{d}T e verificamos no Passo 4 que a condição de integrabilidade vale. Portanto \mathrm{d}T é exata.
Interpretação prática e observação final (didática e útil para prova): isso é intuitivo e simples de lembrar — a diferencial total \mathrm{d}T já vem escrita como diferencial de uma função T, então é, por definição, uma forma exata; o conteúdo do critério de Euler/Clairaut é apenas a verificação da condição de integrabilidade (igualdade das derivadas mistas), que garante formalmente que uma 1-forma seja a diferencial de alguma função. Em provas, normalmente basta dizer: escreva P_i=\partial T/\partial x_i, use T\in C^2 para igualar as derivadas mistas e aplicar o critério.

Resposta

\mathrm{d}T é exato (isto é, satisfaz o critério de Euler/integra-bilidade: \partial_i(\partial_j T)=\partial_j(\partial_i T) para todo i,j, assumindo T\in C^2).

Exercícios relacionados