Exercicio II Demonstre que
é exato segundo o critério de Euler.
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre que
é um diferencial exato segundo o critério de Euler.
Informações implícitas que usarei (pressupostos necessários):
Informações implícitas que usarei (pressupostos necessários):
-
é uma função com derivadas parciais contínuas de segunda ordem em um domínio convexo ou simplesmente conexo (ou seja, ). - O que vem a ser
: é a 1-forma
- O “critério de Euler” que vou usar aqui é o critério de integrabilidade (frequentemente chamado também de condição de igualdade das derivadas mistas / condição de exatidão): uma 1-forma
é exata em um domínio simplesmente conexo se, e somente se, para todo
Meu objetivo: aplicar esse critério à 1-forma
e concluir que ela é exata.
Passo 2
Escrevendo explicitamente os coeficientes da 1-forma
: para cada
defino
Assim
Para aplicar o critério de exatidão preciso verificar a igualdade das derivadas parciais cruzadas
e
para todos
.
Passo 3
Calculo as derivadas mistas dos
. Como
, tem-se
Do mesmo modo,
Passo 4
Uso a hipótese de continuidade das segundas derivadas parciais (
). Pelo teorema de Clairaut (Teorema da igualdade das derivadas mistas),
Logo para todo
Passo 5
Pelo critério de Euler (critério de integrabilidade / condição de exatidão) citado no Passo 1: se
satisfaz
em um domínio simplesmente conexo, então existe uma função potencial
tal que
. No nosso caso tomamos
e verificamos no Passo 4 que a condição de integrabilidade vale. Portanto
é exata.
Interpretação prática e observação final (didática e útil para prova): isso é intuitivo e simples de lembrar — a diferencial total já vem escrita como diferencial de uma função
, então é, por definição, uma forma exata; o conteúdo do critério de Euler/Clairaut é apenas a verificação da condição de integrabilidade (igualdade das derivadas mistas), que garante formalmente que uma 1-forma seja a diferencial de alguma função. Em provas, normalmente basta dizer: escreva
, use
para igualar as derivadas mistas e aplicar o critério.
Interpretação prática e observação final (didática e útil para prova): isso é intuitivo e simples de lembrar — a diferencial total