Exercício 2.16 Considere um circuito RLC paralelo atuando como um filtro passa-faixa, onde a saída é a tensão sobre os componentes associados a uma fonte de corrente ideal. Se duplicarmos o valor da resistência R, mantendo L e C constantes, o que ocorrerá com a frequência central de ressonância e com a largura de banda?
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o que acontece com (i) a frequência central de ressonância e (ii) a largura de banda, quando duplicamos R em um circuito RLC paralelo alimentado por uma fonte de corrente ideal, com L e C mantidos constantes.
Informações dadas (claras e simples):
Circuito: resistor R, indutor L e capacitor C em paralelo, ligados a uma fonte de corrente ideal.
A saída é a tensão sobre esse conjunto paralelo (ou seja, a tensão no nó comum onde estão os três elementos).
A operação pedida: duplicar R (isto é, R \to 2R), com L e C inalterados.
Perguntas: o que acontece com a frequência de ressonância e com a largura de banda?
Passo 2
Modelagem matemática e conceito de admissão (por que usar admissão aqui).
Em circuitos paralelos é natural trabalhar com admissão (admitância) Y(j\omega), porque as correntes somam. A admitância é o inverso da impedância: Y=1/Z.
Para o nosso paralelo temos três contribuições de admitância:
condutância do resistor: G=\dfrac{1}{R};
admitância do capacitor: j\omega C;
admitância do indutor: \dfrac{1}{j\omega L}=-j\dfrac{1}{\omega L}.
a parte real de Y é G=1/R e a parte imaginária (susceptância) é B(\omega)=\omega C-1/(\omega L).
Passo 3
Determinar a frequência de ressonância (intuição e cálculo).
Intuição: para um paralelo RLC a ressonância ocorre quando as correntes reativas (do indutor e do capacitor) se cancelam entre si. Isso significa que a parte imaginária da admitância é zero: B(\omega_0)=0.
Então impondo
\omega_0 C-\frac{1}{\omega_0 L}=0
resolvemos para \omega_0. Multiplicando por \omega_0:
Conclusão imediata: \omega_0 depende apenas de L e C. Como o enunciado mantém L e C constantes, a frequência central de ressonância não muda ao duplicar R.
Passo 4
Definição de largura de banda e fator de qualidade (o que vamos usar).
A largura de banda (em frequência angular) \Delta\omega de uma resposta ressonante é comumente definida como a distância entre as duas frequências onde a magnitude da resposta cai a 1/\sqrt{2} do máximo (pontos de meia potência).
Para um circuito paralelo alimentado por fonte de corrente, o pico da impedância (ou da tensão para corrente dada) ocorre em \omega_0 e o valor máximo da impedância é aproximadamente R (quando a parte imaginária é zero, Z_{\max}=1/G=R).
A relação entre \Delta\omega, \omega_0 e o fator de qualidade Q é
Q=\frac{\omega_0}{\Delta\omega}.
Vamos obter \Delta\omega explicitamente em função de R,C,L.
Passo 5
Cálculo da largura de banda \Delta\omega para o paralelo (linearização perto da ressonância).
Condição de meia potência (metade da potência significa que o módulo da impedância caiu a 1/\sqrt{2} do pico; em termos de Y isso vira |Y|=\sqrt{2}\,G). Igualando:
Consequência física: aumentar R reduz o amortecimento, aumenta o Q (torna o pico mais acentuado) e estreita a faixa de frequências que passam (melhor seletividade).
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (apenas ilustrativo).
Escolha qualquer L e C, por exemplo L=1\\ \text{mH}, C=1\\ \text{nF}. Então
A frequência central de ressonância não muda: \displaystyle \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} (invariante quando R é duplicado).\nA largura de banda em frequência angular reduz-se pela metade: \displaystyle \Delta\omega=\frac{1}{RC}\Rightarrow \Delta\omega_{\text{novo}}=\frac{1}{2}\,\Delta\omega.