Exercício 2.16 Considere um circuito RLC paralelo atuando como um filtro passa-faixa, onde a saída é a tensão sobre os componentes associados a uma fonte de corrente ideal. Se duplicarmos o valor da resistência R, mantendo L e C constantes, o que ocorrerá com a frequência central de ressonância e com a largura de banda?

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o que acontece com (i) a frequência central de ressonância e (ii) a largura de banda, quando duplicamos R em um circuito RLC paralelo alimentado por uma fonte de corrente ideal, com L e C mantidos constantes.
Informações dadas (claras e simples):
  • Circuito: resistor R, indutor L e capacitor C em paralelo, ligados a uma fonte de corrente ideal.
  • A saída é a tensão sobre esse conjunto paralelo (ou seja, a tensão no nó comum onde estão os três elementos).
  • A operação pedida: duplicar R (isto é, R \to 2R), com L e C inalterados.
  • Perguntas: o que acontece com a frequência de ressonância e com a largura de banda?

Passo 2

Modelagem matemática e conceito de admissão (por que usar admissão aqui).
  • Em circuitos paralelos é natural trabalhar com admissão (admitância) Y(j\omega), porque as correntes somam. A admitância é o inverso da impedância: Y=1/Z.
  • Para o nosso paralelo temos três contribuições de admitância:
    • condutância do resistor: G=\dfrac{1}{R};
    • admitância do capacitor: j\omega C;
    • admitância do indutor: \dfrac{1}{j\omega L}=-j\dfrac{1}{\omega L}.
  • Somando essas três, a admitância total é
Y(j\omega)=\frac{1}{R}+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right).
Aqui:
  • \omega é a frequência angular ( \omega=2\pi f);
  • j é a unidade imaginária;
  • a parte real de Y é G=1/R e a parte imaginária (susceptância) é B(\omega)=\omega C-1/(\omega L).

Passo 3

Determinar a frequência de ressonância (intuição e cálculo).
  • Intuição: para um paralelo RLC a ressonância ocorre quando as correntes reativas (do indutor e do capacitor) se cancelam entre si. Isso significa que a parte imaginária da admitância é zero: B(\omega_0)=0.
  • Então impondo
\omega_0 C-\frac{1}{\omega_0 L}=0
resolvemos para \omega_0. Multiplicando por \omega_0:
\omega_0^2 C-\frac{1}{L}=0 \quad\Rightarrow\quad \omega_0^2=\frac{1}{LC}.
Portanto
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
  • Conclusão imediata: \omega_0 depende apenas de L e C. Como o enunciado mantém L e C constantes, a frequência central de ressonância não muda ao duplicar R.

Passo 4

Definição de largura de banda e fator de qualidade (o que vamos usar).
  • A largura de banda (em frequência angular) \Delta\omega de uma resposta ressonante é comumente definida como a distância entre as duas frequências onde a magnitude da resposta cai a 1/\sqrt{2} do máximo (pontos de meia potência).
  • Para um circuito paralelo alimentado por fonte de corrente, o pico da impedância (ou da tensão para corrente dada) ocorre em \omega_0 e o valor máximo da impedância é aproximadamente R (quando a parte imaginária é zero, Z_{\max}=1/G=R).
  • A relação entre \Delta\omega, \omega_0 e o fator de qualidade Q é
Q=\frac{\omega_0}{\Delta\omega}.
Vamos obter \Delta\omega explicitamente em função de R,C,L.

Passo 5

Cálculo da largura de banda \Delta\omega para o paralelo (linearização perto da ressonância).
  • Começamos da admitância escrita antes:
Y(j\omega)=G+jB(\omega),\qquad G=\frac{1}{R},\quad B(\omega)=\omega C-\frac{1}{\omega L}.
  • No ponto de ressonância B(\omega_0)=0 e Y(j\omega_0)=G. O módulo de Y próximo a \omega_0 é |Y|=\sqrt{G^2+B(\omega)^2}.
  • Metemos a aproximação linear para B(\omega) perto de \omega_0. A derivada é
\frac{dB}{d\omega}(\omega)=C+\frac{1}{\omega^2 L},
portanto em \omega_0, usando \omega_0^2=1/(LC),
\left.\frac{dB}{d\omega}\right|_{\omega_0}=C+\;C=2C.
  • Assim, para \omega próximo de \omega_0,
B(\omega)\approx 2C(\omega-\omega_0).
  • Condição de meia potência (metade da potência significa que o módulo da impedância caiu a 1/\sqrt{2} do pico; em termos de Y isso vira |Y|=\sqrt{2}\,G). Igualando:
\sqrt{G^2+B(\omega)^2}=\sqrt{2}\,G \quad\Rightarrow\quad B(\omega)^2=G^2.
  • Com a aproximação linear, |B(\omega)|=|2C(\omega-\omega_0)|=G, então a metade do desvio em frequência é
|\omega-\omega_0|=\frac{G}{2C}=\frac{1}{2RC}.
  • A largura de banda (distância entre as duas frequências simétricas) é duas vezes esse valor:
\Delta\omega=\frac{1}{RC}.

Passo 6

Expressões alternativas e fator de qualidade (ligando tudo).
  • Usando \omega_0=1/\sqrt{LC} e \Delta\omega=1/(RC) temos o fator de qualidade
Q=\frac{\omega_0}{\Delta\omega}=\omega_0 R C = R\sqrt{\frac{C}{L}}.
  • Todas essas fórmulas confirmam: \omega_0 não depende de R, enquanto \Delta\omega é inversamente proporcional a R.

Passo 7

Efeito de duplicar R (conclusão operacional e física).
  • Se R for duplicado: R\to 2R.
  • Frequência de ressonância: como \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} não contém R, \omega_0 permanece exatamente a mesma (sem alteração).
  • Largura de banda: como \Delta\omega=\dfrac{1}{RC}, ao dobrar R a largura de banda cai pela metade:
\Delta\omega_{\text{novo}}=\frac{1}{(2R)C}=\frac{1}{2}\,\Delta\omega_{\text{antigo}}.
  • Consequência física: aumentar R reduz o amortecimento, aumenta o Q (torna o pico mais acentuado) e estreita a faixa de frequências que passam (melhor seletividade).

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (apenas ilustrativo).
  • Escolha qualquer L e C, por exemplo L=1\\ \text{mH}, C=1\\ \text{nF}. Então
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-3}\cdot10^{-9}}}=10^{6}\\ \text{rad/s}.
  • Se R=1\\ \text{k}\Omega, então
\Delta\omega=\frac{1}{RC}=\frac{1}{10^{3}\cdot10^{-9}}=10^{6}\\ \text{rad/s}.
  • Dobrando R para 2\\ \text{k}\Omega, \omega_0 continua 10^{6}\\ \text{rad/s} e
\Delta\omega_{\text{novo}}=\frac{1}{2\cdot10^{3}\cdot10^{-9}}=5\cdot10^{5}\\ \text{rad/s},
ou seja, metade da largura de banda inicial.

Resposta

A frequência central de ressonância não muda: \displaystyle \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} (invariante quando R é duplicado).\nA largura de banda em frequência angular reduz-se pela metade: \displaystyle \Delta\omega=\frac{1}{RC}\Rightarrow \Delta\omega_{\text{novo}}=\frac{1}{2}\,\Delta\omega.