Um recipiente fechado contém 2 kg de água liquida saturada a 3 MPa . O recipiente dilata e a água se expande, de forma a ocupar todo o volume. A pressão final é de 300 kPa . O volume final é de 0.5 \mathrm{~m}^{3}. Calcule a quantidade de vapor produzido em kg e a variação de energia interna em kJ.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Massa total de água: m=2\\ \mathrm{kg}.
  • Estado inicial: água líquida saturada à pressão P_{1}=3{,}0\\ \mathrm{MPa} (ou seja, qualidade inicial x_{1}=0).
  • Processo: recipiente dilata e a água ocupa todo o volume; a pressão final é P_{2}=300\\ \mathrm{kPa}=0{,}3\\ \mathrm{MPa}.
  • Volume final total dado: V_{2}=0{,}5\\ \mathrm{m^{3}}.
O que é pedido:
  1. A quantidade de vapor produzido (em kg) no estado final.
  2. A variação de energia interna total do sistema (em kJ), isto é \Delta U = m\,(u_{2}-u_{1}).

Passo 2

Modelo físico e ideias que vamos usar (sem pular etapas):
  • Em sistema fechado a massa total fica constante: m=m_{f}+m_{g}, onde m_{g} é a massa de vapor final e m_{f} a massa de líquido final.
  • É útil trabalhar com volumes específicos v (volume por unidade de massa): v=\dfrac{V}{m}.
  • Se no estado final houver mistura líquido–vapor em equilíbrio saturado à pressão P_{2}, a relação entre o volume específico médio v_{2}, o fator qualidade x (fração mássica de vapor) e os volumes específicos saturados é
v_{2} = (1-x)\,v_{f2} + x\,v_{g2},
onde v_{f2} e v_{g2} são, respectivamente, os volumes específicos do líquido saturado e do vapor saturado à pressão P_{2}.
  • A massa de vapor será m_{g}=x\,m.
  • Para energia interna: o u específico médio na mistura é
u_{2}=(1-x)\,u_{f2}+x\,u_{g2},
e a variação total de energia interna é \Delta U=m(u_{2}-u_{1}), com u_{1}=u_{f1} (saturado líquido a P_{1}).
Precisamos, portanto, dos valores de v_{f}, v_{g}, u_{f} e u_{g} nas pressões correspondentes — estes valores são obtidos em tabelas de vapor saturado. Vou explicitar os valores que usei (retirados das tabelas de vapor saturado) e em seguida usá‑los nos cálculos.

Passo 3

Valores de propriedades retirados das tabelas de vapor saturado (indicados explicitamente):
  • Para P_{1}=3{,}0\\ \mathrm{MPa} (estado inicial, saturado líquido):
    • v_{f1}=0{,}00106\\ \mathrm{m^{3}/kg} (volume específico do líquido saturado a 3\\ \mathrm{MPa})
    • u_{f1}=980{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} (energia interna específica do líquido saturado a 3\\ \mathrm{MPa})
  • Para P_{2}=0{,}3\\ \mathrm{MPa} (300 kPa) (estado final, possível mistura saturada):
    • v_{f2}=0{,}00104\\ \mathrm{m^{3}/kg}
    • v_{g2}=0{,}6058\\ \mathrm{m^{3}/kg}
    • u_{f2}=559{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}
    • u_{g2}=2462{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}
(Observação: os números acima foram copiados das tabelas de vapor saturado padrão; é importante usar os mesmos valores da tabela que o seu curso adota. Aqui explicitamente declaro os valores usados.)

Passo 4

Calcular o volume específico final médio do sistema:
v_{2}=\dfrac{V_{2}}{m}=\dfrac{0{,}5\\ \mathrm{m^{3}}}{2\\ \mathrm{kg}}=0{,}25\\ \mathrm{m^{3}/kg}.

Passo 5

Determinar a qualidade x no estado final usando a equação da mistura:
v_{2}=(1-x)\,v_{f2}+x\,v_{g2}.
Isolando x:
x=\dfrac{v_{2}-v_{f2}}{v_{g2}-v_{f2}}.
Substituindo os valores (todos em unidades compatíveis):
x=\dfrac{0{,}25-0{,}00104}{0{,}6058-0{,}00104} =\dfrac{0{,}24896}{0{,}60476}\approx 0{,}4118.

Passo 6

Calcular a massa de vapor produzido m_{g}:
m_{g}=x\,m=0{,}4118\times 2\\ \mathrm{kg}=0{,}8236\\ \mathrm{kg}.
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos,
m_{g}\approx 0{,}824\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Calcular a energia interna específica no estado final u_{2} (mistura):
u_{2}=(1-x)\,u_{f2}+x\,u_{g2}.
Substituindo:
u_{2}=(1-0{,}4118)\times 559{,}3 + 0{,}4118\times 2462{,}6.
Vamos calcular passo a passo:
(1-0{,}4118)=0{,}5882,
0{,}5882\times 559{,}3 \approx 328{,}9\\ \mathrm{kJ/kg},
0{,}4118\times 2462{,}6 \approx 1013{,}4\\ \mathrm{kJ/kg},
u_{2}\approx 328{,}9 + 1013{,}4 = 1342{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 8

Calcular a variação de energia interna total do sistema:
\Delta U = m\,(u_{2}-u_{1}).
Substituindo m=2\\ \mathrm{kg}, u_{2}\approx 1342{,}3\\ \mathrm{kJ/kg} e u_{1}=u_{f1}=980{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}:
\Delta U = 2\,[1342{,}3 - 980{,}0]\\ \mathrm{kJ} =2\times 362{,}3\\ \mathrm{kJ} \approx 724{,}6\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando com consistência para três algarismos significativos,
\Delta U \approx 725\\ \mathrm{kJ}.

Passo 9

Interpretação rápida (motivação para a prova):
  • O volume específico final v_{2}=0{,}25\\ \mathrm{m^{3}/kg} é muito maior que o volume específico do líquido saturado, logo uma fração significativa da massa está em vapor.
  • A qualidade x\approx 0{,}412 significa que cerca de 41,2% da massa é vapor; com m=2\\ \mathrm{kg} isso dá 0{,}824\\ \mathrm{kg} de vapor.
  • A energia interna aumenta porque se parte da massa passa de líquido mais frio (a 3 MPa saturado, com u_{f1} menor) para uma mistura com vapor (muito maior u_g), por isso \Delta U>0.

Resposta

m_{\text{vapor}} \approx 0{,}824\\ \mathrm{kg}\n
\Delta U \approx 725\\ \mathrm{kJ}

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