Exercício 39 (reescrito)

Um dispositivo do tipo êmbolo-cilindro contém 4,0 \mathrm{~kg} de vapor de água, inicialmente a 400 \mathrm{kPa} \mathrm{e} 175^{\circ} \mathrm{C}. O vapor é submetido a uma compressão isotérmica, mecanicamente reversível, até atingir uma pressão final na qual ele se torna vapor saturado.
Determine o calor transferido (Q) e o trabalho realizado (W) durante esse processo.

Passo 1

O enunciado dá um êmbolo–cilindro contendo m=4{,}0\\ \mathrm{kg} de vapor de água inicialmente em p_{1}=400\\ \mathrm{kPa} e T=175\,^{\circ}\mathrm{C}. O vapor é comprimido isotermicamente e reversivelmente até que, na mesma temperatura, se torne vapor saturado (ou seja, atinja a pressão de saturação a 175\,^{\circ}\mathrm{C}).
Conteúdo: processo isotérmico reversível de gás (vapor) ideal. Vamos usar a equação
W = m\,R\,T\,\ln\frac{v_{2}}{v_{1}}
e, para gás ideal, v\propto1/p, além de inferir que \Delta u=0 em processo isotérmico.

Passo 2

Determinar a pressão de saturação a 175\,^{\circ}\mathrm{C}. Pela tabela de vapor,
p_{\mathrm{sat}}(175\,^{\circ}\mathrm{C}) = 807\\ \mathrm{kPa}\,.
Como é isotérmico, T=175+273{,}15=448{,}15\\ \mathrm{K} constante e o vapor se comporta como gás ideal com R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}. Portanto,
\frac{v_{2}}{v_{1}} =\frac{p_{1}}{p_{2}} =\frac{400}{807}\approx0{,}4957.

Passo 3

Calcular o trabalho realizado pelo sistema ( W, positivo se trabalho feito pelo gás; aqui será negativo por ser compressão):
W = m\,R\,T\,\ln\frac{v_{2}}{v_{1}} =4{,}0\cdot0{,}4615\cdot448{,}15\cdot\ln(0{,}4957).
Avaliação numérica:
0{,}4615\cdot448{,}15\approx206{,}9,\quad 4\cdot206{,}9=827{,}6,\quad \ln(0{,}4957)\approx-0{,}701
\implies W\approx827{,}6\times(-0{,}701)\approx-580\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Em processo isotérmico de gás ideal, \Delta u=0, logo pela primeira lei
Q = \Delta u + W = 0 + W = W.
Portanto o calor trocado é igual ao trabalho (e negativo, indicando calor saindo do sistema).

Resposta

W \approx -580\\ \mathrm{kJ} Q \approx -580\\ \mathrm{kJ}

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