O gás A se expande adiabaticamente por uma turbina que realiza um trabalho. O fluxo de entrada escoa a 100 bar e 600 K , enquanto a saída está a 20 bar e 445 K . Usando o artifício de trajetória de cálculos e a rede termodinâmica, estime quantos moles de gás são necessários escorrer pela turbina para obtenção de 10000 J de trabalho.

Dados:

  • c_{p}^{m}=30,0+0,02 T\left(\mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}, T\right. em K )
  • Equação PVT:
P(V-b)=R T+\frac{a P^{2}}{T}
  • a=0,001 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~K} /(\mathrm{bar} \cdot \mathrm{mol})
  • b=8,0 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{3} /(\mathrm{bar} \cdot \mathrm{mol})

Passo 1

O enunciado descreve uma expansão adiabática de um gás real em turbina, com entrada em (P_{1}=100\\ \text{bar},\,T_{1}=600\\ \text{K}) e saída em (P_{2}=20\\ \text{bar},\,T_{2}=445\\ \text{K}). Como é escoamento estacionário e adiabático, desprezando variações de energia cinética e potencial, o trabalho por mol extraído na turbina é dado por
w = h_{1} - h_{2}\,,
onde h é a entalpia molar do gás real. Vamos usar o artifício de trajetória:
  1. calcular a parte “ideal” \Delta h_{\text{ideal}}=\displaystyle\int_{T_{2}}^{T_{1}}c_{p}^{m}(T)\,\mathrm{d}T,
  2. calcular a correção (entalpia de desvio) \Delta h_{\mathrm{dep}}=h_{\mathrm{dep},1}-h_{\mathrm{dep},2} a partir da equação de estado de virial dada,
  3. somar para obter \Delta h e, por fim,
  4. achar o número de mols n necessário para gerar 10\,000\\ \text{J} de trabalho:
n=\frac{10\,000}{\Delta h}\,.

Passo 2

Vamos primeiro a parte ideal, usando
c_{p}^{m}(T)=30{,}0 + 0{,}02\,T \quad\bigl[\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}\bigr].
Então
\Delta h_{\text{ideal}} =\int_{T_{2}}^{T_{1}}\bigl(30 + 0{,}02\,T\bigr)\,\mathrm{d}T =\bigl[30\,T + 0{,}01\,T^{2}\bigr]_{445}^{600}.
Calculando:
30\,(600-445)=30\cdot155=4\,650\\ \mathrm{J/mol},
0{,}01\,(600^{2}-445^{2}) =0{,}01\,(360\,000 - 198\,025) =1\,619{,}75\\ \mathrm{J/mol},
logo
\Delta h_{\text{ideal}}=4\,650 + 1\,619{,}75 = 6\,269{,}75\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 3

Da equação de estado
P\,(v-b)=R\,T+\frac{a\,P^{2}}{T},
com v=V/n, segue-se que
v = b + \frac{R\,T}{P} + \frac{a\,P}{T}.
A entalpia de desvio (departure) em cada estado é
h_{\mathrm{dep}} =\int_{0}^{P}\bigl[v - T\bigl(\tfrac{\partial v}{\partial T}\bigr)_{P}\bigr]\,\mathrm{d}P \quad\text{e verifica-se que}\quad v - T\bigl(\tfrac{\partial v}{\partial T}\bigr)_{P} = b + \frac{2\,a\,P}{T}.
Logo
h_{\mathrm{dep}}(P,T) =\int_{0}^{P}\Bigl(b + \frac{2\,a\,P'}{T}\Bigr)\mathrm{d}P' = b\,P + \frac{a\,P^{2}}{T},
em unidades de \mathrm{m^{3}/mol}\times\mathrm{bar}, que convertendo \mathrm{bar}\to10^{5}\,\mathrm{Pa} dá joules por mol.

Passo 4

Calculamos h_{\mathrm{dep},1} e h_{\mathrm{dep},2}:
Para o estado 1:
h_{\mathrm{dep},1} = b\,P_{1} + \frac{a\,P_{1}^{2}}{T_{1}} =8{,}0\times10^{-5}\cdot100 +\frac{0{,}001\cdot100^{2}}{600} ~[\mathrm{m^{3}/mol}\cdot\mathrm{bar}],
8{,}0\times10^{-5}\cdot100=8{,}0\times10^{-3},\quad \frac{0{,}001\cdot10\,000}{600}=0{,}016667,
soma em \mathrm{m^{3}/mol}\cdot\mathrm{bar} = 0{,}024667. Convertendo:
h_{\mathrm{dep},1}=0{,}024667\times10^{5}=2\,466{,}7\\ \mathrm{J/mol}.
Para o estado 2:
h_{\mathrm{dep},2} =8{,}0\times10^{-5}\cdot20 +\frac{0{,}001\cdot20^{2}}{445} =1{,}6\times10^{-3} + \frac{0{,}001\cdot400}{445} \approx1{,}6\times10^{-3}+0{,}0008989 =0{,}0024989,
h_{\mathrm{dep},2}=0{,}0024989\times10^{5}\approx249{,}9\\ \mathrm{J/mol}.
Assim
\Delta h_{\mathrm{dep}} = h_{\mathrm{dep},1} - h_{\mathrm{dep},2} =2\,466{,}7 - 249{,}9 =2\,216{,}8\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 5

Agora a entalpia total:
\Delta h =\Delta h_{\text{ideal}} + \Delta h_{\mathrm{dep}} =6\,269{,}75 + 2\,216{,}8 =8\,486{,}55\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 6

Para extrair 10\,000\\ \mathrm{J} precisamos de
n = \frac{10\,000}{\Delta h} =\frac{10\,000}{8\,486{,}55} \approx1{,}18\\ \mathrm{mol}.

Resposta

Aproximadamente 1{,}18 mol do gás.

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