Exercício 4.1: Aquece-se ar, eletricamente, num tubo de diâmetro constante, num processo de fluxo constante com o tempo. Na entrada, o ar tem uma velocidade de 3 \mathrm{m} / \mathrm{s} e está a 0,35 \mathrm{MPa}, 27^{\circ} \mathrm{C}. O ar sai a 0,3 \mathrm{MPa}, 90^{\circ} \mathrm{C}. Calcular a velocidade de saída.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a velocidade de saída do ar num tubo de diâmetro constante, sabendo que o aquecimento é elétrico e o escoamento é de fluxo constante no tempo (estoque não varia). Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
  • Velocidade de entrada: v_1 = 3\\ \mathrm{m/s}.
  • Pressão de entrada: p_1 = 0{,}35\\ \mathrm{MPa}.
  • Temperatura de entrada: T_1 = 27^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão de saída: p_2 = 0{,}3\\ \mathrm{MPa}.
  • Temperatura de saída: T_2 = 90^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: encontrar a velocidade de saída v_2.

Passo 2

Princípio de conservação de massa para escoamento em regime permanente (steady): a vazão mássica \dot{m} é constante ao longo do tubo. A vazão mássica é
\dot{m}=\rho A v,
onde \rho é a densidade do fluido, A é a área da secção transversal e v é a velocidade. Como o tubo tem diâmetro (e portanto A) constante e o escoamento é permanente, temos
\rho_1 v_1 = \rho_2 v_2.
Dessa equação segue diretamente que
v_2 = v_1\frac{\rho_1}{\rho_2}.
Aqui \rho_1 e \rho_2 são as densidades do ar na entrada e na saída, respectivamente. Explico: se a área não muda e a massa que passa por uma secção por unidade de tempo é a mesma, então o produto densidade×velocidade também tem de ser o mesmo.

Passo 3

Como o enunciado fornece pressões e temperaturas, eu preciso de uma relação entre pressão, temperatura e densidade. Para o ar numa condição como essa usamos a equação dos gases ideais na forma
\rho = \frac{p}{R\,T},
onde:
  • \rho é a densidade em \mathrm{kg/m^3};
  • p é a pressão absoluta em \mathrm{Pa};
  • T é a temperatura absoluta em \mathrm{K};
  • R é a constante específica do gás (para o ar seco R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
Vou usar essa fórmula para calcular \rho_1 e \rho_2. Observações importantes de conversão de unidades (faça sempre isso numa prova para não errar):
  • Converter ^\circ\mathrm{C} para Kelvin: T\,[\mathrm{K}] = T\,[^\circ\mathrm{C}] + 273{,}15.
  • Converter \mathrm{MPa} para \mathrm{Pa}: 1\\ \mathrm{MPa}=10^6\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Converto os dados para unidades do SI:
p_1 = 0{,}35\\ \mathrm{MPa} = 0{,}35\times10^6\\ \mathrm{Pa} = 350\,000\\ \mathrm{Pa},
p_2 = 0{,}3\\ \mathrm{MPa} = 300\,000\\ \mathrm{Pa},
T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 90^\circ\mathrm{C} = 90 + 273{,}15 = 363{,}15\\ \mathrm{K},
e tomo R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Agora calculo a densidade na entrada usando \rho_1 = p_1/(R T_1):
\rho_1 = \frac{350\,000}{287\cdot 300{,}15}.
Faço as contas passo a passo: 287\cdot 300{,}15 = 86\,143{,}05. Então
\rho_1 = \frac{350\,000}{86\,143{,}05}\approx 4{,}0629\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

Agora a densidade na saída:
\rho_2 = \frac{300\,000}{287\cdot 363{,}15}.
Calculo 287\cdot 363{,}15 = 104\,224{,}05. Assim
\rho_2 = \frac{300\,000}{104\,224{,}05}\approx 2{,}8781\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 6

Com \rho_1 e \rho_2 calculadas, uso a relação da continuidade v_2 = v_1(\rho_1/\rho_2):
v_2 = 3\cdot\frac{4{,}0629}{2{,}8781}.
Calculo a razão: \dfrac{4{,}0629}{2{,}8781}\approx 1{,}4118. Portanto
v_2 \approx 3\cdot 1{,}4118 \approx 4{,}2354\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com precisão compatível com os dados (duas ou três casas significativas), fica
v_2 \approx 4{,}24\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Resumo rápido das suposições feitas (importante para a prova): usei escoamento permanente, área constante (logo massa por unidade de área conserva), e o ar tratado como gás ideal com R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Não considerei efeitos de variação de composição, perda de massa nem mudanças de área — tudo consistente com o enunciado.

Resposta

v_2 \approx 4{,}24\\ \mathrm{m/s}

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