Exercício 4.3: Uma turbina pequena de alta velocidade que opera com ar comprimido produz 0,1 \mathrm{HP}. As condições de admissão e descarga são respectivamente 0,4 \mathrm{MPa}, 27^{\circ} \mathrm{C} e 0,1 \mathrm{MPa} e -50^{\circ} \mathrm{C}. Supondo que as velocidades sejam baixas, calcular o fluxo de massa de ar por unidade de tempo necessário.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que está listado abaixo:
  • Potência produzida pela turbina: \;0,1\\ \mathrm{HP}.
  • Condições de admissão: \;p_1 = 0,4\\ \mathrm{MPa} e \;T_1 = 27^\circ\mathrm{C}.
  • Condições de descarga: \;p_2 = 0,1\\ \mathrm{MPa} e \;T_2 = -50^\circ\mathrm{C}.
  • As velocidades são baixas (portanto mudanças de energia cinética podem ser desprezadas).
  • Pedido: calcular o fluxo de massa de ar por unidade de tempo necessário (isto é, \dot m, a vazão mássica).
Observações levantadas a partir do enunciado (sem resolver ainda): temos temperaturas e pressões de entrada e saída; a frase “velocidades baixas” indica que podemos desprezar termos cinéticos. Não foi dada eficiência nem outras perdas — assumiremos o modelo ideal mais simples necessário para responder ao enunciado, e depois explico por que as pressões não precisarão entrar no cálculo numérico.

Passo 2

Modelo físico e equação de energia em regime permanente (explicação didática).
  • Para uma turbina em regime permanente, a potência útil entregue pela turbina (trabalho por unidade de tempo) relaciona-se com o fluxo mássico e a variação de entalpia entre entrada e saída. A equação de energia simplificada para um aparelho de escoamento permanente, sem transferência de calor com o meio e desprezando energia cinética e potencial, é:
\dot W = \dot m\,(h_1 - h_2),
onde:
  • \dot W é a potência mecânica produzida pela turbina (em watts),
  • \dot m é a vazão mássica que queremos (em \mathrm{kg/s}),
  • h_1 e h_2 são as entalpias específicas do fluido na entrada e na saída (em \mathrm{J/kg}).
  • Esta fórmula vem da conservação de energia: a energia retirada do fluido (redução de entalpia) é convertida em trabalho útil pela turbina, quando não há perdas expressas no enunciado.

Passo 3

Relação entre entalpia e temperatura para ar (aula rápida e concreta).
  • Para um gás perfeito (modelo razoável para o ar nas condições dadas) com calor específico a pressão constante praticamente constante numa faixa moderada de temperatura, a variação de entalpia pode ser aproximada por:
h_1 - h_2 = c_p\,(T_1 - T_2),
onde:
  • c_p é o calor específico a pressão constante do ar (em \mathrm{J/(kg\,K)}),
  • T_1 e T_2 são as temperaturas absolutas (em K).
  • Valor prático para o ar seco: c_p \approx 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} = 1005\\ \mathrm{J/(kg\,K)}. Vou usar este valor constante; isso significa que a entalpia depende só das temperaturas, não das pressões, o que explica por que os valores de pressão do enunciado não são necessários no cálculo final (para o modelo de gás ideal com c_p constante).

Passo 4

Conversões de unidades (passo a passo, sem pular etapas).
  • Converter potência de cavalos-vapor para watts. Usamos
1\\ \mathrm{HP} = 745{,}7\\ \mathrm{W},
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0{,}1\\ \mathrm{HP} = 0{,}1 \times 745{,}7\\ \mathrm{W} = 74{,}57\\ \mathrm{W}.
  • Converter temperaturas de Celsius para Kelvin (sempre necessário quando se usa c_p em \mathrm{J/(kg\,K)}):
T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = -50^\circ\mathrm{C} = -50 + 273{,}15 = 223{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a variação de entalpia (mostrar contas explícitas).
  • Diferença de temperaturas:
T_1 - T_2 = 300{,}15 - 223{,}15 = 77{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Variação de entalpia usando c_p = 1005\\ \mathrm{J/(kg\,K)}:
h_1 - h_2 = c_p\,(T_1 - T_2) = 1005 \times 77{,}00\\ \mathrm{J/kg} = 77\,385\\ \mathrm{J/kg}.
(ou em notação científica: h_1 - h_2 = 7{,}7385\times 10^{4}\\ \mathrm{J/kg}).

Passo 6

Isolar a vazão mássica e calcular numericamente (com todas as unidades consistentes).
  • Da equação do Passo 2:
\dot m = \frac{\dot W}{h_1 - h_2}.
  • Substituindo \dot W = 74{,}57\\ \mathrm{W} e h_1-h_2 = 77\,385\\ \mathrm{J/kg}:
\dot m = \frac{74{,}57}{77\,385}\\ \mathrm{kg/s} \approx 9{,}64\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Interpretação final, unidades alternativas e motivação das suposições.
  • Resultado em unidades mais usuais (por hora):
\dot m = 9{,}64\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg/s} \times 3600\\ \mathrm{s/h} \approx 3{,}47\\ \mathrm{kg/h}.
  • Por que as pressões fornecidas não entraram? Para o modelo de gás ideal com c_p constante, a entalpia específica depende somente da temperatura. Se o problema exigisse considerar variação de c_p com temperatura, perdas irreversíveis ou eficiência da turbina, ou se pedissem propriedades reais (obtidas de tabelas ou software), então as pressões e uma análise mais detalhada seriam necessárias. Como o enunciado dá temperaturas e não fala em rendimento ou perdas, a suposição usada (adiabático, sem variação cinética/potencial e ar compatível com gás ideal) é a natural e suficiente para o exercício de prova.
  • Força extra de ânimo: o número saiu bem pequeno — faz sentido, turbinas muito pequenas ou potência muito baixa exigem vazões de massa também muito pequenas quando a queda de entalpia por kg é grande (aqui a queda térmica é 77\\ \mathrm{K}, dando \sim 77{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}).

Resposta

\dot m = 9{,}64\times 10^{-4}\\ \mathrm{kg/s} \approx 3{,}47\\ \mathrm{kg/h}

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