Exercício 4.3: Uma turbina pequena de alta velocidade que opera com ar comprimido produz
. As condições de admissão e descarga são respectivamente
e
e
. Supondo que as velocidades sejam baixas, calcular o fluxo de massa de ar por unidade de tempo necessário.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que está listado abaixo:
- Potência produzida pela turbina:
. - Condições de admissão:
e . - Condições de descarga:
e . - As velocidades são baixas (portanto mudanças de energia cinética podem ser desprezadas).
- Pedido: calcular o fluxo de massa de ar por unidade de tempo necessário (isto é,
, a vazão mássica).
Observações levantadas a partir do enunciado (sem resolver ainda): temos temperaturas e pressões de entrada e saída; a frase “velocidades baixas” indica que podemos desprezar termos cinéticos. Não foi dada eficiência nem outras perdas — assumiremos o modelo ideal mais simples necessário para responder ao enunciado, e depois explico por que as pressões não precisarão entrar no cálculo numérico.
Passo 2
Modelo físico e equação de energia em regime permanente (explicação didática).
- Para uma turbina em regime permanente, a potência útil entregue pela turbina (trabalho por unidade de tempo) relaciona-se com o fluxo mássico e a variação de entalpia entre entrada e saída. A equação de energia simplificada para um aparelho de escoamento permanente, sem transferência de calor com o meio e desprezando energia cinética e potencial, é:
onde:
-
é a potência mecânica produzida pela turbina (em watts), -
é a vazão mássica que queremos (em ), -
e são as entalpias específicas do fluido na entrada e na saída (em ). -
Esta fórmula vem da conservação de energia: a energia retirada do fluido (redução de entalpia) é convertida em trabalho útil pela turbina, quando não há perdas expressas no enunciado.
Passo 3
Relação entre entalpia e temperatura para ar (aula rápida e concreta).
- Para um gás perfeito (modelo razoável para o ar nas condições dadas) com calor específico a pressão constante praticamente constante numa faixa moderada de temperatura, a variação de entalpia pode ser aproximada por:
onde:
-
é o calor específico a pressão constante do ar (em ), -
e são as temperaturas absolutas (em K). -
Valor prático para o ar seco:
. Vou usar este valor constante; isso significa que a entalpia depende só das temperaturas, não das pressões, o que explica por que os valores de pressão do enunciado não são necessários no cálculo final (para o modelo de gás ideal com constante).
Passo 4
Conversões de unidades (passo a passo, sem pular etapas).
- Converter potência de cavalos-vapor para watts. Usamos
logo
- Converter temperaturas de Celsius para Kelvin (sempre necessário quando se usa
em ):
Passo 5
Calcular a variação de entalpia (mostrar contas explícitas).
- Diferença de temperaturas:
- Variação de entalpia usando
:
(ou em notação científica:
).
Passo 6
Isolar a vazão mássica e calcular numericamente (com todas as unidades consistentes).
- Da equação do Passo 2:
- Substituindo
e :
Passo 7
Interpretação final, unidades alternativas e motivação das suposições.
- Resultado em unidades mais usuais (por hora):
-
Por que as pressões fornecidas não entraram? Para o modelo de gás ideal com
constante, a entalpia específica depende somente da temperatura. Se o problema exigisse considerar variação de com temperatura, perdas irreversíveis ou eficiência da turbina, ou se pedissem propriedades reais (obtidas de tabelas ou software), então as pressões e uma análise mais detalhada seriam necessárias. Como o enunciado dá temperaturas e não fala em rendimento ou perdas, a suposição usada (adiabático, sem variação cinética/potencial e ar compatível com gás ideal) é a natural e suficiente para o exercício de prova. -
Força extra de ânimo: o número saiu bem pequeno — faz sentido, turbinas muito pequenas ou potência muito baixa exigem vazões de massa também muito pequenas quando a queda de entalpia por kg é grande (aqui a queda térmica é
, dando ).