Exercício 3.5: O ar contido num cilindro com êmbolo é comprimido num processo quase-estático. Durante o processo de compressão, a relação entre pressão e volume é \mathrm{PV}^{1,25}= constante. A massa de ar no cilindro é de 0,05 \mathrm{~kg}. A pressão e temperatura iniciais são respectivamente 0,1 \mathrm{MPa} e 21^{\circ} \mathrm{C}. O volume final é 1 / 8 do inicial. Determine o trabalho realizado e o calor trocado.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o trabalho realizado e o calor trocado durante uma compressão quase-estática de ar num cilindro com êmbolo em que vale a relação \mathrm{P}\mathrm{V}^{1,25}= constante. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
\;m=0,05\\ \mathrm{kg} (massa de ar)
\;p_1=0,1\\ \mathrm{MPa} (pressão inicial)
\;T_1=21^\circ\mathrm{C} (temperatura inicial)
\;V_2=\dfrac{1}{8}V_1 (volume final é 1/8 do inicial)
Relação do processo: \;pV^{1,25}= constante, ou seja, politrópico com expoente n=1,25.
O que se pede: o trabalho (durante o processo de compressão) e o calor trocado. Vou tomar a convenção usual: trabalho W positivo quando realizado pelo sistema (pelo gás). Como é compressão, esperamos W<0 (o trabalho é realizado sobre o gás).

Passo 2

Primeiro passo prático: converter unidades e anotar constantes do ar que usaremos.
Converter temperatura inicial para kelvin:
T_1=21^\circ\mathrm{C}=21+273,15=294,15\\ \mathrm{K}.
Converter pressão inicial para pascal:
p_1=0,1\\ \mathrm{MPa}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Constante específica do ar (valor padrão):
R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Expoente do processo:
n=1{,}25.

Passo 3

Vamos achar o volume inicial V_1 usando a equação dos gases ideais:
p_1 V_1 = m R T_1.
Isolando V_1:
V_1=\dfrac{m R T_1}{p_1}.
Substituindo números:
V_1=\dfrac{0{,}05\cdot 287\cdot 294{,}15}{1{,}0\times10^{5}}.
Calculando passo a passo:
287\cdot294{,}15=84421{,}05
0{,}05\cdot84421{,}05=4221{,}0525
V_1=\dfrac{4221{,}0525}{1{,}0\times10^{5}}=0{,}042210525\\ \mathrm{m^{3}}.
Arredondando convenientemente:
V_1\approx0{,}04221\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

O volume final é \;V_2=\dfrac{1}{8}V_1. Logo:
V_2=\dfrac{0{,}04221}{8}=0{,}0052763156\\ \mathrm{m^{3}}
ou
V_2\approx0{,}0052763\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Usando a relação politrópica \;pV^{n}= constante, temos
p_1 V_1^{n}=p_2 V_2^{n}\quad\Rightarrow\quad p_2 = p_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{n}.
Como \dfrac{V_1}{V_2}=8, então
p_2 = p_1\cdot 8^{\,1{,}25}.
Calculemos 8^{1{,}25}. Note que 8=2^{3}, então
8^{1{,}25}=2^{3\cdot1{,}25}=2^{3{,}75}\approx13{,}4543.
Portanto
p_2 = 1{,}0\times10^{5}\cdot 13{,}4543 \approx 1{,}34543\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando:
p_2\approx1{,}345\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\quad(\approx1{,}345\\ \mathrm{MPa}).

Passo 6

Agora vamos ao trabalho: para um processo politrópico com p=C V^{-n} o trabalho é a integral
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,dV=\int_{V_1}^{V_2} C V^{-n}\,dV.
Integrando (para n\neq1):
W=\left.\dfrac{C}{1-n}V^{1-n}\right|_{V_1}^{V_2}=\dfrac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1-n}.
Essa é a fórmula prática que usaremos. Substituindo n=1{,}25:
W=\dfrac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1-1{,}25}=\dfrac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{-0{,}25}.
Já calculamos p_1 V_1 antes via mRT_1; vamos usar os valores numéricos:
p_1 V_1 = 1{,}0\times10^{5}\cdot 0{,}042210525 = 4221{,}0525\\ \mathrm{J}.
p_2 V_2 = 1{,}34543\times10^{6}\cdot 0{,}0052763156 \approx 7098{,}603\\ \mathrm{J}.
Agora o trabalho:
W=\dfrac{7098{,}603 - 4221{,}0525}{-0{,}25}=\dfrac{2877{,}5505}{-0{,}25}=-11510{,}202\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente:
W\approx -1{,}151\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: W<0 significa que o trabalho foi realizado sobre o gás (isto é, o gás fez trabalho negativo; o sistema recebeu trabalho).

Passo 7

Para achar o calor Q precisamos da variação de energia interna \Delta U e aplicar a primeira lei:
\Delta U = Q - W\quad\Rightarrow\quad Q=\Delta U + W,
onde, para gás ideal, \Delta U = m c_v (T_2-T_1).
Vamos achar T_2 usando a equação dos gases ideais no estado final:
p_2 V_2 = m R T_2 \quad\Rightarrow\quad T_2=\dfrac{p_2 V_2}{m R}.
Já temos p_2 V_2\approx7098{,}603\\ \mathrm{J}. Então
T_2=\dfrac{7098{,}603}{0{,}05\cdot 287}=\dfrac{7098{,}603}{14{,}35}\approx494{,}74\\ \mathrm{K}.
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_2-T_1 = 494{,}74 - 294{,}15 = 200{,}59\\ \mathrm{K}.
Agora precisamos de c_v do ar. Para ar (gás diatômico, condições padrão) usamos aproximadamente
c_p\approx1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad c_v=c_p-R\approx1005-287=718\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Assim
\Delta U = m c_v \Delta T = 0{,}05\cdot 718\cdot 200{,}59.
Calculando:
718\cdot200{,}59\approx144023{,}62
\Delta U\approx0{,}05\cdot144023{,}62=7201{,}181\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
\Delta U\approx7201\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Aplicando a primeira lei para obter o calor:
Q=\Delta U + W = 7201{,}181 + (-11510{,}202) \approx -4309{,}021\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
Q\approx -4{,}31\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: Q<0 significa que, durante a compressão, foi retirado calor do gás (ou seja, calor foi transferido do gás para o meio ambiente), enquanto trabalho foi feito sobre o gás.

Resposta

W\approx -1{,}15\times10^{4}\\ \mathrm{J}
Q\approx -4{,}31\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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