Exercício 3.4: O hélio contido num cilindro com êmbolo expande-se lentamente de acordo com a relação
constante. O volume inicial de hélio é 85 litros, a pressão inicial é de
e a temperatura inicial é 280 K . Após a expansão a pressão é
. Calcular o trabalho realizado e o calor transferido durante a expansão. Considere o calor específico a volume constante do hélio igual a 3.156
.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (vou listar tudo bem organizadinho para não se perder):\n
- O hélio expande-se segundo a relação
constante.\n - Volume inicial
litros (vou converter para SI na resolução).\n - Pressão inicial
.\n - Temperatura inicial
.\n - Pressão final
.\n - Calor específico a volume constante dado como
(vou discutir isto quando usar).\n
O que a questão pede:\n - Calcular o trabalho realizado durante a expansão.\n
- Calcular o calor transferido durante a expansão.\n
Observações iniciais (apenas listando): todas as grandezas serão usadas no SI (Pa, m^3, J, K). Não vou resolver nada ainda, só organizei os dados e o que é pedido.
Passo 2
Unidades e determinação da massa do gás (passo fundamental).\n
Primeiro converto unidades para o SI:\n
Primeiro converto unidades para o SI:\n
Agora preciso da massa de hélio
para poder usar
. Vou obter
pela equação dos gases ideais:
onde
é a constante específica do gás (constante universal dividida pela massa molar).\n
Constantes e valores: massa molar do hélio . Constante universal
. Assim a constante específica é
Constantes e valores: massa molar do hélio
Agora aplico
:
Faço as contas passo a passo:\n
Interpretação: são cerca de
gramas de hélio — número pequeno, faz sentido por ser um volume pequeno a alta pressão.
Passo 3
Determinar o volume final
usando a relação politrópica
constante.\n
Da igualdade entre estados 1 e 2:
Da igualdade entre estados 1 e 2:
Isolando
:
Calculo numérico:\n
(em litros isto dá
).\n
Resumo: .
Resumo:
Passo 4
Cálculo do trabalho realizado
em um processo politrópico
constante (aqui
).\n
Explicando a fórmula (mini-aula): o trabalho realizado pelo gás ao expandir de a
é
Explicando a fórmula (mini-aula): o trabalho realizado pelo gás ao expandir de
Como
(onde
é a constante
), substituímos e integramos:
válido para
. Esta é a fórmula padrão para trabalho em processo politrópico — fica aqui a intuição: integra-se
em função de
.\n
Agora aplico com (
). Já calculei
e posso calcular
:\n
Agora aplico com
Substituindo na fórmula:
Interpretação:
. Como o número é positivo, significa trabalho realizado pelo gás (energia que o gás entregou ao êmbolo).
Passo 5
Cálculo da variação de energia interna
usando
.\n
Primeiro resolvo a questão da unidade do calor específico: o enunciado deu , mas isso é muito pequeno para hélio (o valor real é cerca de
). Aqui vou interpretar o dado de forma prática: o autor provavelmente quis dizer
, isto é,
. Vou usar
(se você tiver instrução contrária da prova use o valor que o seu professor indicar).\n
Para uso a equação dos gases ideais novamente:
. Mais simples, como
, então
Primeiro resolvo a questão da unidade do calor específico: o enunciado deu
Para
Calculo:
Logo
(esfria: temperatura cai).\n
Agora calculo :
Agora calculo
Faço a conta:
Com o sinal de
(negativo):
Interpretação: a energia interna do gás diminuiu em cerca de
.
Passo 6
Aplicar a primeira lei da termodinâmica para encontrar o calor
.\n
A primeira lei (forma usada aqui) é
A primeira lei (forma usada aqui) é
onde
é o trabalho realizado pelo sistema. Isolando
:
Substituo os valores obtidos:
Interpretação:
. Como
é positivo, significa que, embora o gás tenha esfriado (energia interna diminuiu), ele recebeu calor do exterior durante a expansão — o trabalho realizado foi maior que a diminuição interna, e a diferença veio de calor que entrou.
Passo 7
Verificação rápida de consistência e conclusão numérica:\n
- Massa calculada:
.\n - Volume final:
(≈ ).\n - Trabalho realizado pelo gás:
(positivo, trabalho feito pelo gás).\n - Variação da energia interna:
(diminuiu).\n - Calor transferido ao gás:
(positivo, calor entrou).\n
Prontinho — respira fundo, não é tão assustador quando seguimos passo a passo. Você consegue aplicar esse mesmo caminho em qualquer processo politrópico: acharpela relação politrópica, integrar para o trabalho, usar gás ideal para temperaturas e massa, e a primeira lei para o calor.