Exercício 3.4: O hélio contido num cilindro com êmbolo expande-se lentamente de acordo com a relação \mathrm{PV}^{1,5}= constante. O volume inicial de hélio é 85 litros, a pressão inicial é de 0,48 \mathrm{MPa} e a temperatura inicial é 280 K . Após a expansão a pressão é 0,13 \mathrm{MPa}. Calcular o trabalho realizado e o calor transferido durante a expansão. Considere o calor específico a volume constante do hélio igual a 3.156 \mathrm{J} / \mathrm{kgK}.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (vou listar tudo bem organizadinho para não se perder):\n
  • O hélio expande-se segundo a relação \mathrm{PV}^{1,5}= constante.\n
  • Volume inicial \;V_1=85 litros (vou converter para SI na resolução).\n
  • Pressão inicial \;P_1=0{,}48\\ \mathrm{MPa}.\n
  • Temperatura inicial \;T_1=280\\ \mathrm{K}.\n
  • Pressão final \;P_2=0{,}13\\ \mathrm{MPa}.\n
  • Calor específico a volume constante dado como \;c_v=3{,}156\\ \mathrm{J/(kg\,K)} (vou discutir isto quando usar).\n
    O que a questão pede:\n
  • Calcular o trabalho realizado durante a expansão.\n
  • Calcular o calor transferido durante a expansão.\n
    Observações iniciais (apenas listando): todas as grandezas serão usadas no SI (Pa, m^3, J, K). Não vou resolver nada ainda, só organizei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Unidades e determinação da massa do gás (passo fundamental).\n
Primeiro converto unidades para o SI:\n
V_1=85\\ \text{L}=85\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}=0{,}085\\ \mathrm{m^3},
P_1=0{,}48\\ \mathrm{MPa}=0{,}48\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=480000\\ \mathrm{Pa},
P_2=0{,}13\\ \mathrm{MPa}=130000\\ \mathrm{Pa}.\n
Agora preciso da massa de hélio m para poder usar \Delta U = m c_v \Delta T. Vou obter m pela equação dos gases ideais:
PV=mR T,
onde R é a constante específica do gás (constante universal dividida pela massa molar).\n
Constantes e valores: massa molar do hélio \;M=4{,}0026\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0040026\\ \mathrm{kg/mol}. Constante universal \;R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\,K)}. Assim a constante específica é
R=\frac{R_u}{M}=\frac{8{,}314462618}{0{,}0040026}\\ \mathrm{J/(kg\,K)}\approx 2077{,}1\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.\n
Agora aplico m=\dfrac{P_1 V_1}{R T_1}:
m=\frac{480000\cdot 0{,}085}{2077{,}1\cdot 280}.
Faço as contas passo a passo:\n
P_1V_1=480000\times 0{,}085=40800\\ \mathrm{J},
R T_1=2077{,}1\times 280\approx 581588\\ \mathrm{J/kg},
m=\frac{40800}{581588}\approx 0{,}07014\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: são cerca de 70 gramas de hélio — número pequeno, faz sentido por ser um volume pequeno a alta pressão.

Passo 3

Determinar o volume final \;V_2 usando a relação politrópica \mathrm{PV}^{1,5}= constante.\n
Da igualdade entre estados 1 e 2:
P_1 V_1^{1{,}5}=P_2 V_2^{1{,}5}.
Isolando V_2:
V_2=V_1\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1}{1{,}5}}=V_1\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{2/3}.
Calculo numérico:\n
\frac{P_1}{P_2}=\frac{0{,}48}{0{,}13}\approx 3{,}6923077,
\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{2/3}\approx 3{,}6923077^{0{,}6666667}\approx 2{,}3889,
V_2=0{,}085\times 2{,}3889\approx 0{,}20306\\ \mathrm{m^3}.
(em litros isto dá 0{,}20306\times10^{3}=203{,}06\\ \mathrm{L}).\n
Resumo: V_2\approx 0{,}20306\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Cálculo do trabalho realizado W em um processo politrópico \mathrm{PV}^n= constante (aqui n=1{,}5).\n
Explicando a fórmula (mini-aula): o trabalho realizado pelo gás ao expandir de V_1 a V_2 é
W=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
Como P=C\,V^{-n} (onde C é a constante P V^n), substituímos e integramos:
W=\int_{V_1}^{V_2} C V^{-n}\,dV = C\left[\frac{V^{1-n}}{1-n}\right]_{V_1}^{V_2} =\frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-n},
válido para n\neq 1. Esta é a fórmula padrão para trabalho em processo politrópico — fica aqui a intuição: integra-se P em função de V.\n
Agora aplico com n=1{,}5 ( 1-n=-0{,}5). Já calculei P_1V_1 e posso calcular P_2V_2:\n
P_1V_1=40800\\ \mathrm{J}\quad(\text{já obtido}),á
P_2V_2=130000\times 0{,}20306\approx 26397{,}8\\ \mathrm{J}.
Substituindo na fórmula:
W=\frac{P_2V_2-P_1V_1}{1-n}=\frac{26397{,}8-40800}{1-1{,}5} =\frac{-14402{,}2}{-0{,}5}=28804{,}4\\ \mathrm{J}.
Interpretação: W\approx 2{,}88\times10^{4}\\ \mathrm{J}. Como o número é positivo, significa trabalho realizado pelo gás (energia que o gás entregou ao êmbolo).

Passo 5

Cálculo da variação de energia interna \Delta U usando \Delta U = m c_v \Delta T.\n
Primeiro resolvo a questão da unidade do calor específico: o enunciado deu c_v=3{,}156\\ \mathrm{J/(kg\,K)}, mas isso é muito pequeno para hélio (o valor real é cerca de 3{,}1\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}). Aqui vou interpretar o dado de forma prática: o autor provavelmente quis dizer 3{,}156\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}, isto é, c_v=3156\\ \mathrm{J/(kg\,K)}. Vou usar c_v=3156\\ \mathrm{J/(kg\,K)} (se você tiver instrução contrária da prova use o valor que o seu professor indicar).\n
Para \Delta T uso a equação dos gases ideais novamente: T_2=\dfrac{P_2V_2}{mR}. Mais simples, como PV/(mR)=T, então
T_2=T_1\frac{P_2V_2}{P_1V_1}.
Calculo:
\frac{P_2V_2}{P_1V_1}=\frac{26397{,}8}{40800}\approx 0{,}6470,
T_2=280\times 0{,}6470\approx 181{,}18\\ \mathrm{K}.
Logo \Delta T=T_2-T_1=181{,}18-280=-98{,}82\\ \mathrm{K} (esfria: temperatura cai).\n
Agora calculo \Delta U:
\Delta U=m c_v \Delta T=0{,}07014\times 3156\times (-98{,}82).
Faço a conta:
3156\times 98{,}82\approx 311875{,}9,
m\cdot(3156\cdot 98{,}82)=0{,}07014\times 311875{,}9\approx 21874{,}3\\ \mathrm{J}.
Com o sinal de \Delta T (negativo):
\Delta U\approx -21874{,}3\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a energia interna do gás diminuiu em cerca de 2,19\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Aplicar a primeira lei da termodinâmica para encontrar o calor Q.\n
A primeira lei (forma usada aqui) é
\Delta U = Q - W,
onde W é o trabalho realizado pelo sistema. Isolando Q:
Q=\Delta U + W.
Substituo os valores obtidos:
Q=(-21874{,}3)+28804{,}4\approx 6930{,}1\\ \mathrm{J}.
Interpretação: Q\approx 6{,}93\times10^{3}\\ \mathrm{J}. Como Q é positivo, significa que, embora o gás tenha esfriado (energia interna diminuiu), ele recebeu calor do exterior durante a expansão — o trabalho realizado foi maior que a diminuição interna, e a diferença veio de calor que entrou.

Passo 7

Verificação rápida de consistência e conclusão numérica:\n
  • Massa calculada: m\approx 0{,}07014\\ \mathrm{kg}.\n
  • Volume final: V_2\approx 0{,}20306\\ \mathrm{m^3} (≈ 203{,}06\\ \mathrm{L}).\n
  • Trabalho realizado pelo gás: W\approx 28804{,}4\\ \mathrm{J} (positivo, trabalho feito pelo gás).\n
  • Variação da energia interna: \Delta U\approx -21874{,}3\\ \mathrm{J} (diminuiu).\n
  • Calor transferido ao gás: Q\approx 6930{,}1\\ \mathrm{J} (positivo, calor entrou).\n
    Prontinho — respira fundo, não é tão assustador quando seguimos passo a passo. Você consegue aplicar esse mesmo caminho em qualquer processo politrópico: achar V_2 pela relação politrópica, integrar para o trabalho, usar gás ideal para temperaturas e massa, e a primeira lei para o calor.

Resposta

W=2{,}88\times 10^{4}\\ \mathrm{J}\n
Q=6{,}93\times 10^{3}\\ \mathrm{J}

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