Exercício 4.2: O compressor de uma grande turbina a gás recebe ar do meio a 95 \mathrm{kPa}, 21^{\circ} \mathrm{C}. Na descarga do compressor a pressão é de 0,38 \mathrm{MPa}, a temperatura é de 130^{\circ} \mathrm{C} e a velocidade de 130 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A potência de acionamento do compressor é de 4000 HP. Determinar o fluxo de ar em kg/h.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo mássico de ar em kg/h dado um compressor. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
\text{Pressão de entrada: }95\\ \mathrm{kPa}ã
\text{Temperatura de entrada: }21^\circ\mathrm{C}
\text{Pressão de saída: }0{,}38\\ \mathrm{MPa}ãí
\text{Temperatura de saída: }130^\circ\mathrm{C}í
\text{Velocidade na descarga (saída): }130\\ \mathrm{m/s}í
\text{Potência de acionamento do compressor: }4000\\ \mathrm{HP}ê
O que se pede:
\text{Determinar o fluxo de ar (massa) em } \mathrm{kg/h}.

Passo 2

Escolha do método e suposições (explico por quê e o que vou assumir):
  • Vou usar a equação da energia para regime permanente em volume de controle (primeira lei da termodinâmica para escoamento estacionário), porque relaciona potência fornecida ao aumento de energia por unidade de massa do fluido (entalpia + energia cinética + potencial). O enunciado dá temperaturas e velocidade de saída e a potência, então essa equação é a mais direta.
  • Suponho que o processo é adiabático no sentido de que não há calor trocado significativo com o ambiente (compressor bem isolado em relação à potência elétrica/ mecânica fornecida) — esta é a hipótese padrão para estimar o fluxo a partir da potência de acionamento.
  • Vou desprezar a variação de energia potencial (gz) porque não há alturas fornecidas e costuma ser desprezível.
  • A velocidade na entrada não foi dada; vou assumir que é pequena em comparação com a velocidade na saída e, portanto, v_1\approx 0. Aviso: se na prova aparecer v_1 grande, é só incluir a diferença \tfrac{v_2^2-v_1^2}{2} na conta.

Passo 3

Escrevendo a equação de energia para escoamento estacionário (sem calor e sem variação de potencial):
\dot{W}_{\text{shaft}} + \dot{m}\left(h_1+\tfrac{v_1^2}{2}\right)=\dot{m}\left(h_2+\tfrac{v_2^2}{2}\right).
Rearranjando para obter a vazão mássica \dot{m}:
\dot{W}_{\text{shaft}}=\dot{m}\left(h_2-h_1+\tfrac{v_2^2-v_1^2}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad \dot{m}=\frac{\dot{W}_{\text{shaft}}}{\,h_2-h_1+\tfrac{v_2^2-v_1^2}{2}\,}.
Explicando os termos:
  • \dot{W}_{\text{shaft}} é a potência fornecida ao fluido (em W).
  • \dot{m} é a vazão mássica (em kg/s).
  • h é a entalpia específica (J/kg). Para ar tratado como gás ideal, usa-se h=c_p T, onde c_p é a capacidade calorífica a pressão constante (J/kg·K) e T é temperatura absoluta (K).
  • \tfrac{v^2}{2} é a energia cinética específica (J/kg).

Passo 4

Converter temperaturas para Kelvin e definir c_p do ar:
T_1 = 21^\circ\mathrm{C}=21+273{,}15=294{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 130^\circ\mathrm{C}=130+273{,}15=403{,}15\\ \mathrm{K}.
Para ar a temperaturas próximas a essas, podemos usar
c_p \approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Então a variação de entalpia por kg é
h_2-h_1 = c_p(T_2-T_1)=1005\cdot(403{,}15-294{,}15)=1005\cdot109=109\,545\\ \mathrm{J/kg}.
(Expliquei: multiplica-se c_p pela diferença de temperaturas em Kelvin; o resultado tem unidades J/kg porque c_p é J/(kg·K).)

Passo 5

Calcular a contribuição cinética. Assumindo v_1\approx 0:
\tfrac{v_2^2-v_1^2}{2}\approx \tfrac{v_2^2}{2}=\tfrac{(130)^2}{2}=\tfrac{16\,900}{2}=8\,450\\ \mathrm{J/kg}.
Somando entalpia e energia cinética por kg:
h_2-h_1+\tfrac{v_2^2-v_1^2}{2}=109\,545+8\,450=117\,995\\ \mathrm{J/kg}.
Comentário rápido: a energia cinética é pequena comparada ao aumento de entalpia, mas como dado no enunciado vou incluí-la — na prova é bom sempre verificar se pode ser desprezada.

Passo 6

Converter potência de \mathrm{HP} para watts e aplicar a fórmula:
Usarei 1\\ \mathrm{HP}=745{,}7\\ \mathrm{W} (valor convencional).
\dot{W}_{\text{shaft}}=4000\\ \mathrm{HP}=4000\cdot745{,}7=2\,982\,800\\ \mathrm{W}.
Agora
\dot{m}=\frac{2\,982\,800}{117\,995}=25{,}28\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Converter \dot{m} para \mathrm{kg/h}:
\dot{m}_{\text{(kg/h)}}=\dot{m}_{\text{(kg/s)}}\times3600=25{,}28\cdot3600=91\,008\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando com três algarismos significativos (condizente com os dados):
\dot{m}\approx9{,}10\times10^{4}\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 8

Resumo do procedimento para a prova (mini-aula prática): usar sempre a equação de energia para escoamento estacionário, converter temperaturas para Kelvin, usar h=c_pT para gases ideais, não esquecer a contribuição cinética quando a velocidade é grande, converter potências para watts antes de dividir por J/kg. Respira fundo — você consegue aplicar isso rapidinho na prova.

Resposta

\dot{m}=9{,}10\times10^{4}\\ \mathrm{kg/h}

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