Exercício 3. Um divisor de tensão deve fornecer 1,5 V a partir de uma fonte de 9 V , drenando uma corrente máxima de 1 mA do divisor. Determine valores comerciais adequados para \mathrm{R}_{1} e \mathrm{R}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou listar tudo claramente):
  • Tensão da fonte: V_{in}=9\\ \mathrm{V}.
  • Tensão desejada na saída do divisor: V_{out}=1{,}5\\ \mathrm{V}.
  • Corrente máxima que a carga pode drenar do nó de saída: I_{L,\max}=1\\ \mathrm{mA}.
    O que a questão pede:
  • Determinar valores comerciais adequados para R_{1} e R_{2} do divisor de tensão que forneça V_{out}=1{,}5\\ \mathrm{V} mesmo quando a carga drenar até 1\\ \mathrm{mA}.

Passo 2

Entendendo o circuito e a equação básica (aula rápida, passo a passo).
  • O divisor é formado por R_{1} entre V_{in} e o nó V_{out}, e R_{2} entre V_{out} e terra.
  • Sem carga, a tensão de saída é dada por
V_{out} = V_{in}\,\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.
  • Com carga que puxa corrente I_{L}, o resistor R_{2} fica em paralelo com a carga; portanto, a corrente que sai de V_{in} pelo R_{1} (vou chamar de I) se divide em I_{R2} (pela R_{2}) e I_{L} (pela carga). A equação do ponto (Lei de Kirchhoff das correntes) é:
\frac{V_{in}-V_{out}}{R_{1}} = \frac{V_{out}}{R_{2}} + I_{L}.
Esta é a equação que garante que, com carga, o nó esteja em V_{out}.

Passo 3

Estratégia prática para escolher resistores (regra do polegar e justificativa).
  • Se fizermos R_{1} e R_{2} muito grandes, o divisor terá pouca corrente e a carga vai “puxar” muito a tensão (queda grande). Se fizermos muito pequenos, desperdiçamos potência.
  • Uma prática comum é fazer a corrente do divisor ( I) ser algumas vezes a corrente máxima da carga. Um valor clássico e equilibrado é I \approx 10\cdot I_{L,\max}. Isso dá boa estabilidade da tensão com carga sem desperdiçar potência demais.
  • Vou usar esse critério (razão k=10). Se quiser outra razão (por exemplo k=5 para menor dissipação), é só repetir os cálculos com outro k.

Passo 4

Obter fórmulas para R_{1} e R_{2} com a razão k.
  • Seja I a corrente que passa por R_{1} (corrente do divisor). Pelo critério, tomo
I = k\cdot I_{L,\max}.
  • A corrente que efetivamente passa por R_{2} quando a carga puxa I_{L,\max} é
I_{R2} = I - I_{L,\max} = (k-1)\,I_{L,\max}.
  • Logo
R_{2} = \frac{V_{out}}{I_{R2}} = \frac{V_{out}}{(k-1)\,I_{L,\max}},
R_{1} = \frac{V_{in}-V_{out}}{I} = \frac{V_{in}-V_{out}}{k\,I_{L,\max}}.

Passo 5

Cálculo numérico com k=10 (regra do polegar).
  • Substituindo V_{in}=9\\ \mathrm{V}, V_{out}=1{,}5\\ \mathrm{V}, I_{L,\max}=1\\ \mathrm{mA}=0{,}001\\ \mathrm{A} e k=10:
R_{2}=\frac{1{,}5}{(10-1)\cdot 0{,}001}=\frac{1{,}5}{0{,}009}=166{,}666\ldots\\ \Omega.
R_{1}=\frac{9-1{,}5}{10\cdot 0{,}001}=\frac{7{,}5}{0{,}01}=750\\ \Omega.
  • Resultado ideal: R_{1}=750\\ \Omega e R_{2}\approx166{,}7\\ \Omega. R_{1}=750\\ \Omega é um valor comercial comum; 166{,}7\\ \Omega não é exatamente um valor-padrão E12, mas está próximo de valores comerciais E24 (por exemplo 165\\ \Omega ou 168\\ \Omega).

Passo 6

Escolhendo valores comerciais práticos e verificando a tensão carregada.
  • Vou procurar uma dupla de resistores comerciais (séries comuns como E12/E24) que fique próxima do ideal e que produza V_{out} muito perto de 1{,}5\\ \mathrm{V} quando a carga puxa 1\\ \mathrm{mA}.
  • Uma boa escolha com valores E12 (muito disponíveis) é:
    • R_{1}=680\\ \Omega (E12),
    • R_{2}=150\\ \Omega (E12).
  • Agora verifico a tensão real no nó resolvendo
\frac{9-V}{680}=\frac{V}{150}+0{,}001.
Resolvendo passo a passo:
\frac{9-V}{680}= \frac{V}{150}+0{,}001
0{,}0132352941 - 0{,}0014705882\,V = 0{,}0066666667\,V + 0{,}001
0{,}0122352941 = 0{,}0081372549\,V
V \approx \frac{0{,}0122352941}{0{,}0081372549}\approx 1{,}5035\\ \mathrm{V}.
  • Resultado: com R_{1}=680\\ \Omega e R_{2}=150\\ \Omega a tensão carregada é V_{out}\approx1{,}5035\\ \mathrm{V}, isto é, praticamente 1{,}5\\ \mathrm{V} (erro desprezível \sim 0{,}23\%).

Passo 7

Verificações finais de corrente e potência (segurança).
  • Corrente pelo divisor (aproximadamente): I\approx \dfrac{9-1{,}5035}{680}\approx 11{,}02\\ \mathrm{mA}. Isso está em linha com a regra k\approx11 (ligeiramente acima de 10 por causa da escolha comercial).
  • Potência dissipada nas resistências (ordem de grandeza):
    • P_{R1}\approx I^{2}R_{1}\approx (0{,}01102)^{2}\cdot680\approx 0{,}082\\ \mathrm{W} (82 mW).
    • P_{R2}\approx I_{R2}^{2}R_{2} onde I_{R2}\approx I-I_{L}=10{,}02\\ \mathrm{mA}, dá P_{R2} similarmente abaixo de 0{,}1\\ \mathrm{W}.
  • Conclusão: resistores padrão de 1/4\\ \mathrm{W} (250 mW) são suficientes.

Resposta

R_{1}=680\\ \Omega
R_{2}=150\\ \Omega