Exercício para Entrega (PjBL - 15%)

Um gás ideal com massa de 1,0 \mathrm{~kg} realiza um ciclo simplificado formado por quatro processos consecutivos. No processo 1 para 2 ocorre uma compressão adiabática reversível, sem troca de calor, onde a temperatura aumenta de 300 K para 700 K , o volume inicial é 0,6 \mathrm{~m}^{3} e a pressão inicial é 100 kPa; o volume final deverá ser determinado. Em seguida, no processo 2 para 3 ocorre uma expansão a pressão constante com entrada de calor, elevando a temperatura de 700 K até 900 K . O processo 3 para 4 é uma expansão adiabática reversível, sem troca de calor, com a temperatura diminuindo para 500 K . Por fim, no processo 4 para 1 ocorre uma compressão a pressão constante com rejeição de calor, retornando o gás ao estado inicial com temperatura de 300 K . Alguns dados adicionais:
  • O gás é ideal com constante dos gases \mathcal{R}=\mathbf{0}, \mathbf{3} \frac{\boldsymbol{k J}}{\boldsymbol{k g} \cdot \boldsymbol{K}};
  • A energia interna depende apenas da temperatura, sendo possível relacioná-la por \Delta \boldsymbol{U}=\frac{\boldsymbol{m} \mathcal{R}\left(\boldsymbol{T}_{\boldsymbol{f}}-\boldsymbol{T}_{\boldsymbol{i}}\right)}{(\boldsymbol{\gamma}-\mathbf{1})}
  • O trabalho é \boldsymbol{W}=\int \boldsymbol{p} \boldsymbol{d} \forall
  • Conhecendo as relações de processos politrópicos: \boldsymbol{p} \forall^{\gamma}=\boldsymbol{c t e} e \frac{\boldsymbol{T}_{\mathbf{2}}}{\boldsymbol{T}_{\mathbf{1}}}=\left(\frac{\nabla_{\mathbf{1}}}{\forall_{\mathbf{2}}}\right)^{\boldsymbol{\gamma - 1}}
  • Despreze variações de energia cinética e potencial.
    a) Esboce o ciclo no diagrama pressão-volume ( \mathrm{P}-\forall ), indicando os processos e o sentido do ciclo.
    b) Determine o trabalho e o calor trocados em cada um dos quatro processos.
    c) Calcule o trabalho líquido do ciclo.
    d) Indique se o ciclo opera como um ciclo de potência ou de refrigeração.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo termodinâmico de um gás ideal de massa m=1{,}0\:\mathrm{kg} que começa no estado 1 com
P_{1}=100\:\mathrm{kPa},\quad V_{1}=0{,}6\:\mathrm{m^{3}},\quad T_{1}=300\:\mathrm{K}
e utiliza \mathcal{R}=0{,}3\:\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Para resolver precisamos usar:
– Equação de estado do gás ideal \,P V = m\,\mathcal{R}\,T.
– Fórmulas de processo adiabático reversível (isentrópico):
P\,V^{\gamma}=\mathrm{cte},\quad T_{2}/T_{1}=(V_{1}/V_{2})^{\gamma-1}, \quad W=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-\gamma},\quad Q=0.
– Fórmula de processo isobárico:
W = P\,(V_{f}-V_{i}),\quad \Delta U=\frac{m\,\mathcal{R}\,(T_{f}-T_{i})}{\gamma-1},\quad Q = \Delta U + W.

Passo 2

Verificamos agora a consistência dos dados iniciais com a equação de estado do gás ideal. Deveria valer
P_{1}\,V_{1} \;=\; m\,\mathcal{R}\,T_{1}.
Substituindo os valores fornecidos:
P_{1}V_{1}=100\:\mathrm{kPa}\times0{,}6\:\mathrm{m^{3}}=60\:\mathrm{kJ},
m\,\mathcal{R}\,T_{1}=1\,\mathrm{kg}\times0{,}3\:\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\times300\:\mathrm{K}=90\:\mathrm{kJ}.
Como 60\neq90\:\mathrm{kJ}, os dados iniciais \{P_{1},V_{1},T_{1}\} são inconsistentes com o gás ideal de constante \mathcal{R}=0{,}3\:\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 3

Devido a essa inconsistência fundamental, não há como calcular de forma única e correta:
  • o volume final do processo 1\to 2 (via adiabático),
  • as pressões em cada estado,
  • os trabalhos e calores trocados em 2\to 3 e 4\to 1,
  • nem o trabalho líquido do ciclo.

Resposta

Não é possível resolver o exercício porque os dados iniciais violam a equação de estado do gás ideal com a constante \mathcal{R} fornecida.

Exercícios relacionados