Uma bomba em regime permanente conduz água de um lago, com uma vazão volumétrica de 0,83 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}, por um duto com 12 cm de diâmetro de entrada. A água é distribuída através de uma mangueira acoplada a um bocal cuja saída tem 3 cm de diâmetro e está localizado a uma altura de 10 m acima da entrada do tubo. A água entra a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , e sai sem variações significativas de temperatura e de pressão. A bomba perde para a vizinhança 5 \% da potência de entrada na forma de calor. A aceleração da gravidade é de 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine:
a) A velocidade da água na entrada do sistema [m/s];
b) A velocidade da água na saída do sistema [m/s];
c) A potência requerida da bomba [kW]

Passo 1

O enunciado trata de escoamento permanente de água por uma bomba que retira água de um lago (nível de referência 1) e a lança em um bocal elevado 10 m acima (ponto 2). A vazão volumétrica é Q=0,83\mathrm{\,m^3/min}, os diâmetros são D_1=0,12\mathrm{\,m} e D_2=0,03\mathrm{\,m}, e as pressões de entrada e saída são ambas atmosféricas (sem variação significativa). Vamos usar:
– Equação da continuidade para obter as velocidades.
– Equação de Bernoulli entre 1 e 2, incluindo a “head” da bomba H.
– Cálculo da potência hidráulica P_{\rm hid}=\rho g Q H e consideração de 5 % de perda (bomba 95 % eficiente em entregar potência ao fluido).

Passo 2

Usando continuidade:
Q = A_1\,v_1 = A_2\,v_2,
com
A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4},\quad A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4},\quad Q = \frac{0,83}{60}=0,01383\mathrm{\,m^3/s}.
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v_1 = \frac{Q}{\pi(0,12)^2/4} = \frac{0,01383}{\pi\,(0,06)^2} \approx 1,22\mathrm{\,m/s},
v_2 = \frac{Q}{\pi(0,03)^2/4} = \frac{0,01383}{\pi\,(0,015)^2} \approx 19,6\mathrm{\,m/s}.

Passo 3

Aplicando Bernoulli com a “head” da bomba H e desprezando perdas por atrito:
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 + H = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2.
Como p_1=p_2 e z_2-z_1=10\mathrm{\,m}, obtém-se
H = (z_2-z_1) + \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} = 10 + \frac{19,6^2 - 1,22^2}{2\cdot9,81} \approx 10 + \frac{384 - 1,49}{19,62} \approx 10 + 19,3 =29,3\mathrm{\,m}.
Potência hidráulica:
P_{\rm hid} = \rho g Q H =1000\cdot9,81\cdot0,01383\cdot29,3 \approx 3990\mathrm{\,W}.
Como a bomba perde 5 % da potência de entrada, a potência requerida é
P_{\rm in} = \frac{P_{\rm hid}}{0,95} \approx \frac{3990}{0,95} \approx 4200\mathrm{\,W}\approx4,20\mathrm{\,kW}.

Resposta

(a) v_1\approx1,22\mathrm{\,m/s}.
(b) v_2\approx19,6\mathrm{\,m/s}.
(c) P_{\rm in}\approx4,20\mathrm{\,kW}.

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