Exercício 6.7: Um grande tanque, com volume de 900 litros, é ligado a um tanque menor de 300 litros. O tanque maior contém ar, inicialmente a
e o tanque menor está em vácuo. Uma válvula no tubo de conexão dos dois tanques é subitamente aberta, e fechada quando os tubos atingem o equilíbrio de pressões. Pode-se admitir que o ar no tanque maior passou por um processo reversível é que todo o processo foi adiabático. Qual a massa final de ar no tanque menor? Qual a temperatura final do ar nesse tanque?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) a massa final de ar no tanque menor e (2) a temperatura final do ar nesse tanque. As informações fornecidas são:
Além disso o enunciado permite admitir que o processo foi adiabático e que o ar no tanque maior passou por um processo reversível. Os volumes dos tanques são rígidos (fixos) e não há troca de massa com o exterior. Não foi dada outra informação (por exemplo perdas, trabalho de eixo, etc.), portanto trataremos o sistema formado pelos dois tanques como isolado do ponto de vista energético.
Passo 2
Qual a ideia física que vamos usar? Em linguagem simples: o sistema “ar nos dois tanques” é adiabático e não realiza trabalho de fronteira (os tanques são rígidos), então a energia interna total do sistema é conservada. Vou explicar isso passo a passo e por que isso implica que a temperatura final é igual à inicial.
- Conservação de energia (primeira lei) para o sistema isolado dá
pois
(adiabático) e
(não há trabalho de deslocamento de fronteiras nem trabalho de eixo). Logo
- Para um gás ideal (boa aproximação para o ar nas condições dadas), a energia interna total é
onde
é a massa total de ar e
é a energia interna específica, que depende somente da temperatura
. Isso significa que, se a massa total do sistema não muda (a massa apenas redistribui entre os tanques), a igualdade
implica
Como
é função unívoca de
, segue que
Portanto, sem fazer contas complicadas, concluímos que a temperatura final do ar em ambos os tanques será igual à temperatura inicial
. Essa é uma conclusão típica para mistura ou redistribuição de um gás ideal em recipientes isolados (adiabáticos) quando não há trocas de calor nem trabalho — a temperatura não muda.
Passo 3
Agora vamos calcular numericamente a massa que vai para o tanque menor. Primeira etapa: calcular a massa total de ar presente inicialmente no tanque maior usando a equação dos gases ideais
onde:
-
é a pressão absoluta, -
é o volume ocupado, -
é a massa, -
é a constante específica do gás ( para o ar), -
é a temperatura absoluta em kelvin.
Converter unidades:
Calcular a massa inicial
(toda está no tanque maior inicialmente):
Substituindo valores:
Façamos a conta (de forma direta):
Passo 4
Como vimos,
. Após a abertura da válvula e o equilíbrio, todo o ar ocupa o volume total
A pressão final comum
pode ser obtida pela equação dos gases ideais para a massa total no volume total à temperatura
:
Mas podemos simplificar observando que
pois
. Assim:
Passo 5
A massa que fica no tanque menor (após o equilíbrio) é simplesmente a massa que ocupa o volume
à pressão
e temperatura
:
Podemos também observar que, porque
é uniforme e igual em todo o sistema, a massa se distribui proporcionalmente aos volumes:
Usando
:
Passo 6
Resumo numérico final e interpretação:
- Massa final de ar no tanque menor:
. - Temperatura final do ar no tanque menor:
(ou ).
Força motivadora rápida: você acabou de usar conservação de energia e o fato de que, para gás ideal, energia interna depende só da temperatura — truque que simplifica muito problemas de recipientes isolados. Boa!