Exercício 6.7: Um grande tanque, com volume de 900 litros, é ligado a um tanque menor de 300 litros. O tanque maior contém ar, inicialmente a 0,7 \mathrm{MPa}, 20^{\circ} \mathrm{C} e o tanque menor está em vácuo. Uma válvula no tubo de conexão dos dois tanques é subitamente aberta, e fechada quando os tubos atingem o equilíbrio de pressões. Pode-se admitir que o ar no tanque maior passou por um processo reversível é que todo o processo foi adiabático. Qual a massa final de ar no tanque menor? Qual a temperatura final do ar nesse tanque?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) a massa final de ar no tanque menor e (2) a temperatura final do ar nesse tanque. As informações fornecidas são:
\begin{aligned} &\text{Volume do tanque maior: } V_1 = 900\\ \mathrm{L},\\\ &\text{Volume do tanque menor: } V_2 = 300\\ \mathrm{L},\\\ &\text{Pressão inicial no tanque maior: } p_1 = 0{,}7\\ \mathrm{MPa},\\\ &\text{Temperatura inicial no tanque maior: } T_1 = 20^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{o tanque menor está inicialmente em vácuo (massa zero).}\\\ \end{aligned}ãáá
Além disso o enunciado permite admitir que o processo foi adiabático e que o ar no tanque maior passou por um processo reversível. Os volumes dos tanques são rígidos (fixos) e não há troca de massa com o exterior. Não foi dada outra informação (por exemplo perdas, trabalho de eixo, etc.), portanto trataremos o sistema formado pelos dois tanques como isolado do ponto de vista energético.

Passo 2

Qual a ideia física que vamos usar? Em linguagem simples: o sistema “ar nos dois tanques” é adiabático e não realiza trabalho de fronteira (os tanques são rígidos), então a energia interna total do sistema é conservada. Vou explicar isso passo a passo e por que isso implica que a temperatura final é igual à inicial.
  • Conservação de energia (primeira lei) para o sistema isolado dá
\Delta U_\text{total} = Q - W = 0 - 0 = 0,
pois Q=0 (adiabático) e W=0 (não há trabalho de deslocamento de fronteiras nem trabalho de eixo). Logo
U_\text{final} = U_\text{inicial}.
  • Para um gás ideal (boa aproximação para o ar nas condições dadas), a energia interna total é
U = m\,u(T),
onde m é a massa total de ar e u(T) é a energia interna específica, que depende somente da temperatura T. Isso significa que, se a massa total do sistema não muda (a massa apenas redistribui entre os tanques), a igualdade U_\text{final}=U_\text{inicial} implica
m\,u(T_\text{final}) = m\,u(T_\text{inicial}) \quad\Rightarrow\quad u(T_\text{final}) = u(T_\text{inicial}).
Como u é função unívoca de T, segue que
T_\text{final} = T_\text{inicial}.
Portanto, sem fazer contas complicadas, concluímos que a temperatura final do ar em ambos os tanques será igual à temperatura inicial T_1. Essa é uma conclusão típica para mistura ou redistribuição de um gás ideal em recipientes isolados (adiabáticos) quando não há trocas de calor nem trabalho — a temperatura não muda.

Passo 3

Agora vamos calcular numericamente a massa que vai para o tanque menor. Primeira etapa: calcular a massa total de ar presente inicialmente no tanque maior usando a equação dos gases ideais
pV = m R T,
onde:
  • p é a pressão absoluta,
  • V é o volume ocupado,
  • m é a massa,
  • R é a constante específica do gás ( R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} para o ar),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Converter unidades:
\begin{aligned} &V_1 = 900\\ \mathrm{L} = 0{,}9\\ \mathrm{m}^3,\\\ &V_2 = 300\\ \mathrm{L} = 0{,}3\\ \mathrm{m}^3,\\\ &p_1 = 0{,}7\\ \mathrm{MPa} = 700\,000\\ \mathrm{Pa},\\\ &T_1 = 20^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 + 20 = 293{,}15\\ \mathrm{K}. \end{aligned}
Calcular a massa inicial m_{\text{total}} (toda está no tanque maior inicialmente):
m_{\text{total}} = \frac{p_1 V_1}{R\,T_1}.
Substituindo valores:
m_{\text{total}} = \frac{700\,000\cdot 0{,}9}{287\cdot 293{,}15}.
Façamos a conta (de forma direta):
287\cdot 293{,}15 = 84\,134{,}05,
700\,000\cdot 0{,}9 = 630\,000,
m_{\text{total}} = \frac{630\,000}{84\,134{,}05}\approx 7{,}488\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Como vimos, T_\text{final}=T_1. Após a abertura da válvula e o equilíbrio, todo o ar ocupa o volume total
V_\text{total} = V_1 + V_2 = 0{,}9 + 0{,}3 = 1{,}2\\ \mathrm{m}^3.
A pressão final comum p_f pode ser obtida pela equação dos gases ideais para a massa total no volume total à temperatura T_1:
p_f = \frac{m_{\text{total}} R T_1}{V_\text{total}}.
Mas podemos simplificar observando que
p_f = p_1 \frac{V_1}{V_\text{total}},
pois m_{\text{total}} = p_1 V_1/(R T_1). Assim:
p_f = 0{,}7\\ \mathrm{MPa}\cdot\frac{0{,}9}{1{,}2} = 0{,}7\cdot 0{,}75 = 0{,}525\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

A massa que fica no tanque menor (após o equilíbrio) é simplesmente a massa que ocupa o volume V_2 à pressão p_f e temperatura T_1:
m_2 = \frac{p_f V_2}{R T_1}.
Podemos também observar que, porque T é uniforme e igual em todo o sistema, a massa se distribui proporcionalmente aos volumes:
m_2 = m_{\text{total}}\cdot\frac{V_2}{V_\text{total}} = m_{\text{total}}\cdot\frac{0{,}3}{1{,}2} = m_{\text{total}}\cdot 0{,}25.
Usando m_{\text{total}}\approx 7{,}488\\ \mathrm{kg}:
m_2 \approx 7{,}488\cdot 0{,}25 \approx 1{,}872\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Resumo numérico final e interpretação:
  • Massa final de ar no tanque menor: m_2\approx 1{,}872\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura final do ar no tanque menor: T_\text{final}=T_1=20^\circ\mathrm{C} (ou 293{,}15\\ \mathrm{K}).
Força motivadora rápida: você acabou de usar conservação de energia e o fato de que, para gás ideal, energia interna depende só da temperatura — truque que simplifica muito problemas de recipientes isolados. Boa!

Resposta

m_2 \approx 1{,}872\\ \mathrm{kg}
T_\text{final} = 20^\circ\mathrm{C} (ou 293{,}15\\ \mathrm{K})

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