Exercício 6.6: Um cilindro isolado com êmbolo tem um volume inicial de 150 litros e contém vapor d’água a 0,4 \mathrm{MPa}, 200^{\circ} \mathrm{C}. O vapor se expande adiabaticamente e durante esse processo o trabalho realizado é cuidadosamente medido, achando-se um valor de 7,5 \mathrm{kcal}. Alega-se que o vapor no estado final está na região saturada (líquido + vapor). Qual a sua opinião?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar direitinho, pra gente não se perder):
  • Volume inicial V_1 = 150 litros =0{,}150\\ \mathrm{m^3}.
  • Estado inicial: vapor d’água à pressão P_1 = 0{,}4\\ \mathrm{MPa} e temperatura T_1 = 200^\circ\mathrm{C}.
  • O sistema é um cilindro isolado com êmbolo (processo adiabático, sem transferência de calor).
  • Trabalho realizado pelo sistema durante a expansão: W = 7{,}5\\ \mathrm{kcal}.
  • Afirma-se que o estado final está na região saturada (mistura líquido + vapor). A pergunta é: isso é plausível? preciso opinar e justificar.
Informações relevantes que já anotei para usar:
  • Conversão de energia: 1\\ \mathrm{kcal}=4{,}186\\ \mathrm{kJ}.
  • Fórmula da 1ª lei para sistema fechado: \Delta U = Q - W. Como o processo é adiabático, Q=0, logo \Delta U = -W.
  • Para verificar se houve condensação (aparecimento de líquido) compararemos a variação de energia por unidade de massa com a energia necessária para condensar vapor (calor latente por kg) — isto dará uma ideia se a energia removida é suficiente para gerar mistura saturada significativa.

Passo 2

Primeiro converto o trabalho para unidades do SI (kJ):
W = 7{,}5\\ \mathrm{kcal} \times 4{,}186\\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kcal}} = 31{,}395\\ \mathrm{kJ}.
Como o processo é adiabático e estamos usando a convenção \Delta U = Q - W,
\Delta U = -W = -31{,}395\\ \mathrm{kJ}.
Isto é, a energia interna total do conteúdo do cilindro diminuiu em 31{,}395\\ \mathrm{kJ}.

Passo 3

Precisamos da massa de vapor presente inicialmente para transformar \Delta U total em variação por unidade de massa (pois as propriedades termodinâmicas são tipicamente por kg). Vou estimar a massa usando a aproximação do gás ideal para vapor d’água (método simples e razoável para obter ordem de grandeza). Fórmula do gás ideal:
v_1 = \frac{R\,T_1}{P_1},
onde v_1 é o volume específico inicial (m^3/kg), R é a constante do vapor d’água R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}, T_1 em kelvin e P_1 em kPa. Converto:
T_1 = 200^\circ\mathrm{C} = 473{,}15\\ \mathrm{K},\qquad P_1 = 0{,}4\\ \mathrm{MPa} = 400\\ \mathrm{kPa}.
Calculo v_1:
v_1 = \frac{0{,}4615\times 473{,}15}{400} \approx 0{,}5461\\ \mathrm{m^3/kg}.
Agora a massa m é
m = \frac{V_1}{v_1} = \frac{0{,}150}{0{,}5461} \approx 0{,}2748\\ \mathrm{kg}.
Comentário didático: usar o gás ideal aqui é uma aproximação; o vapor d’água a 0{,}4\\ \mathrm{MPa} e 200^\circ\mathrm{C} é superaquecido, e para superaquecido o comportamento ideal é uma aproximação aceitável para obter a ordem de grandeza da massa (e nos permite continuar sem tabelas).

Passo 4

Com a massa podemos obter a variação específica de energia interna (por kg):
\Delta u = \frac{\Delta U}{m} = \frac{-31{,}395\\ \mathrm{kJ}}{0{,}2748\\ \mathrm{kg}} \approx -114{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: cada kg de vapor teve sua energia interna reduzida em cerca de 114{,}2\\ \mathrm{kJ}.
Explico o porquê desse número ser útil: para condensar vapor em líquido precisamos remover uma quantidade de energia aproximadamente igual à energia latente de vaporização por kg (quando se passa de vapor saturado a líquido saturado, a energia interna/h entalpia muda numa grande ordem de grandeza ~ 2000 kJ/kg). Se a redução de energia por kg for muito menor que esse latent heat, então somente uma pequena fração da massa poderia se condensar — ou nenhuma, se outras restrições impedirem.

Passo 5

Estimativa do calor latente à pressão relevante. O calor latente de vaporização varia com pressão; para pressão típica de algumas centenas de kPa o valor fica da ordem de 2{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{kJ/kg}. Vou usar um valor representativo e conservador (ordem de grandeza):
r \approx 2{,}10\times 10^{3}\\ \mathrm{kJ/kg} \quad\text{(valor aproximado para pressão da ordem de 0{,}2–0{,}5 MPa).}ã
Agora calculo a fração de massa que poderia condensar se toda a energia removida fosse gasta em condensar vapor:
f = \frac{|\Delta u|}{r} \approx \frac{114{,}2}{2100} \approx 0{,}0544 \approx 5{,}4\%.
Interpretação física: com a energia removida ( 114{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}) apenas cerca de 5{,}4\% da massa poderia se condensar (se as condições permitissem condensação). O restante (~94,6%) permaneceria vapor.

Passo 6

Agora avalio se é razoável que o sistema inteiro “fique na região saturada (líquido + vapor)” a partir dos dados:
  • A redução de energia por kg é relativamente pequena comparada à energia necessária para condensar totalmente ou majoritariamente o vapor (que seria da ordem de milhares de kJ/kg). Logo, a energia removida não é suficiente para converter uma fração grande do vapor em líquido.
  • Mesmo que alguma condensação ocorra, ela seria pequena (ordem de 5\% da massa, pelo cálculo acima). Isso significa que o estado final continuaria majoritariamente vapor (possivelmente levemente misturado), ou até permaneceria superaquecido dependendo do caminho do processo.
  • Além disso, afirmarmos com certeza que o estado final está na região saturada exigiria verificar compatibilidade entre energia interna final e propriedades de uma mistura saturada a alguma pressão (isto demandaria tabelas de vapor e o volume final). Aqui não temos tabelas, mas a estimativa energética mostra que a energia removida é muito pequena para mover o sistema suficientemente para a região onde a maior parte estaria no equilíbrio líquido-vapor.
  • Uma observação prática: para que o estado final seja uma mistura saturada com fração significativa de líquido normalmente é preciso remover energia na ordem de centenas ou milhares de kJ por kg; aqui foram removidos só \sim114\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto, a conclusão física e prática é que a alegação de que o vapor no estado final está na região saturada (isto é, considerável presença de líquido) é improvável. No máximo uma pequena fração poderia ter condensado; na maior parte o fluido ainda seria vapor (superaquecido ou levemente resfriado), não uma mistura com muito líquido.

Passo 7

Pequeno cálculo adicional ilustrativo (temperatura aproximada final usando c_v):
  • Para vapor d’água, c_v \approx c_p - R \approx 1{,}89 - 0{,}4615 \approx 1{,}43\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)} (valor aproximado).
  • Mudança de temperatura aproximada: \Delta T \approx \Delta u/c_v \approx -114{,}2/1{,}43 \approx -79{,}9\\ \mathrm{K}.
  • Assim T_2 \approx 473{,}15 - 79{,}9 \approx 393{,}3\\ \mathrm{K} \approx 120{,}2^\circ\mathrm{C} (ordem de grandeza).
    Comentário: se a temperatura final fosse cerca de 120^\circ\mathrm{C}, a pressão de saturação correspondente é cerca de 0{,}2\\ \mathrm{MPa}. É plausível que a pressão do sistema caia durante a expansão; mesmo assim a energia disponível só permitiria condensar uma pequena fração. Então o que acontece é provavelmente resfriamento do vapor (ainda majoritariamente vapor) e não uma conversão ampla para mistura saturada.

Resposta

Não. A energia removida ( W=7{,}5\\ \mathrm{kcal}=31{,}395\\ \mathrm{kJ}) corresponde a uma redução específica de energia de cerca de -114{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}, muito menor que o calor latente ( \sim 2{,}100\\ \mathrm{kJ/kg}); portanto só uma pequena fração (aprox. 5{,}4\%) poderia condensar. Logo é improvável que o estado final esteja amplamente na região saturada; o fluido permanece majoritariamente vapor.

Exercícios relacionados