Exercício 6.2: Um vaso contém vapor d’água a 1,5 \mathrm{MPa}, 430^{\circ} \mathrm{C}. Uma válvula no topo do vaso é aberta, permitindo o escape de vapor. Suponhamos que a qualquer instante o vapor que permanece no vaso sofreu um processo adiabático reversível. Determinar a fração de vapor que escapou quando o vapor remanescente no vaso for saturado seco.

Passo 1

Dados do enunciado (vou listar separadamente para ficar claro o que temos e o que pedem):
  • Pressão inicial: p_1 = 1{,}5\\ \mathrm{MPa}.
  • Temperatura inicial: T_1 = 430^\circ\mathrm{C}.
  • Procedimento: abre-se uma válvula permitindo fugas de vapor; supõe-se que, a qualquer instante, o vapor remanescente no vaso passa por um processo adiabático reversível.
  • Estado final do vapor remanescente: saturado seco (ou seja, qualidade x=1 no estado final).
O que o problema pede: determinar a fração do vapor inicial que escapou quando o vapor remanescente chegou ao estado de vapor saturado seco.

Passo 2

Interpretação física e principal consequência do enunciado (pontos importantes que vamos usar):
  • Um processo adiabático reversível implica que o processo do vapor remanescente é isentrópico, isto é, a entropia específica do vapor remanescente não muda: \,s_2 = s_1. Aqui s_1 é a entropia específica no estado inicial e s_2 no estado final do vapor que ficou.
  • O vaso tem volume fixo (o enunciado implica que há um certo volume do vaso e que apenas a massa muda). Assim, o volume total V do vaso é constante. Se m é a massa do vapor dentro do vaso e v o volume específico ( v=V/m), então m = V/v.
  • Da relação anterior, para as condições inicial e final do vapor remanescente temos
\frac{m_2}{m_1}=\frac{v_1}{v_2},
onde v_1 é o volume específico inicial do vapor no vaso e v_2 é o volume específico do vapor saturado seco no estado final.
  • A fração que escapou é então
\text{fração escapada} = 1 - \frac{m_2}{m_1}=1-\frac{v_1}{v_2}.çã

Passo 3

Estratégia de resolução (passos práticos que vamos executar):
  1. Determinar s_1 e v_1 do vapor no estado inicial (p_1,T_1). Para v_1 podemos usar a aproximação de gás ideal (válida para vapor superaquecido) ou tabelas de vapor superaquecido; para s_1 usaremos o valor de tabela (é este valor que determina a pressão / temperatura de saturção final). Vou indicar explicitamente de onde peguei cada número.
  2. Encontrar a pressão de saturação p_2 tal que a entropia do vapor saturado \,s_g(p_2) seja igual a s_1 (isto é, achar p_2 com s_g(p_2)=s_1). Como o estado final é vapor saturado seco, v_2=v_g(p_2) (volume específico do vapor saturado a p_2).
  3. Calcular m_2/m_1=v_1/v_2 e a fração escapada 1-m_2/m_1.

Passo 4

Cálculo do volume específico inicial v_1 (aproximação de gás ideal; justificativa: vapor superaquecido a alta temperatura comporta-se de forma próxima a gás ideal e isso nos dá v_1 de forma simples e suficientemente precisa para o exercício):
  • Constante do gás para vapor d’água: R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Converter temperatura para kelvin: T_1 = 430^\circ\mathrm{C} = 430+273{,}15 = 703{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter pressão para kPa: p_1 = 1{,}5\\ \mathrm{MPa} = 1500\\ \mathrm{kPa}.
  • Relação de gás ideal para volume específico:
v_1 = \frac{R\,T_1}{p_1}.
Substituindo:
v_1 = \frac{0{,}4615\cdot 703{,}15}{1500} = \frac{324{,}506}{1500}\approx 0{,}2163\\ \mathrm{m^3/kg}.
(Usei a aproximação de gás ideal e os valores mostrados explicitamente.)

Passo 5

Determinação da entropia específica inicial s_1 e identificação da pressão final p_2 pela condição isentrópica: \,s_2 = s_1.
  • Para obter s_1 preciso de dados da tabela de vapor superaquecido (tabelas padrão de vapor d’água). Peguei da tabela (tabela de vapor superaquecido / tabelas termodinâmicas usuais) o valor da entropia específica para vapor a p_1=1{,}5\\ \mathrm{MPa} e T_1=430^\circ\mathrm{C}. O valor tabelado é
s_1 \approx 7{,}13\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(Declaro explicitamente: peguei esse valor em tabelas de vapor superaquecido convencionais.)
  • Agora devemos encontrar a pressão de saturação p_2 tal que a entropia do vapor saturado s_g(p_2) seja igual a 7{,}13\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Consultando a tabela de propriedades de vapor saturado (tabelas de satuação), verifica-se que:
    • Em p=0{,}2\\ \mathrm{MPa} (ou 200\\ \mathrm{kPa}) a entropia do vapor saturado é s_g(0{,}2\\ \mathrm{MPa}) \approx 7{,}127\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, muito próxima de s_1.
  • Concluímos, portanto, que a pressão final de saturação é aproximadamente
p_2 \approx 0{,}2\\ \mathrm{MPa}.
(Essa igualdade é a condição isentrópica aplicada entre o estado inicial superaquecido e o estado final saturado seco.)

Passo 6

Obter o volume específico do vapor saturado no estado final v_2 = v_g(p_2):
  • A partir da tabela de vapor saturado, para p_2 = 0{,}2\\ \mathrm{MPa} tenho (da tabela):
v_2 = v_g(0{,}2\\ \mathrm{MPa}) \approx 0{,}8857\\ \mathrm{m^3/kg}.
(Declaro: peguei esse valor na tabela de vapor saturado padrão.)

Passo 7

Calcular a razão de massas m_2/m_1 usando a relação de volume constante:
\frac{m_2}{m_1}=\frac{v_1}{v_2}.
Substituindo os valores numéricos que encontramos:
\frac{m_2}{m_1}=\frac{0{,}2163}{0{,}8857}\approx 0{,}2443.

Passo 8

Calcular a fração do vapor que escapou:
\text{fração escapada}=1-\frac{m_2}{m_1}=1-0{,}2443=0{,}7557\approx 0{,}756.çã
Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente 75{,}6\% do vapor inicial que escapou.

Passo 9

Breta check e observações finais (motivação didática, para lembrar na prova):
  • Razões de escolha: usei a condição adiabática reversível => isentrópica ( s constante) para relacionar o estado inicial superaquecido com o estado final saturado; usei volume constante do vaso para transformar propriedades específicas em razões de massa; obtive s_1 e v_g(p) de tabelas de vapor (isso é padrão neste tipo de exercício).
  • Pequena nota de precisão: a principal fonte de erro é a aproximação numérica dos valores de tabela; se usar tabelas mais precisas ou interpolação fina, o resultado muda ligeiramente. O procedimento, porém, é este e é o que você deve executar na prova: ler s_1 na tabela superaquecida, achar p_2 em que s_g(p_2)=s_1, ler v_g(p_2) e aplicar 1-v_1/v_g(p_2).

Resposta

0{,}756
75{,}6\%

Exercícios relacionados