Na indústria de alimentos, a extração de cafeína de grãos de café frequentemente utiliza \mathrm{CO}_{2} em estado supercrítico. A fugacidade é uma propriedade termodinâmica com unidade de pressão que pode ser considerada uma transformação matemática do potencial químico para facilitar os cálculos termodinâmicos.
Sabendo que a variação do potencial químico de uma substância " i " em relação ao seu estado padrão é dada pela equação que correlaciona \mu i e \widehat{f i}, calcule a diferença de potencial químico ( \mu i-\mu i) em \mathrm{J} / \mathrm{mol} para o \mathrm{CO}_{2} em um extrator operando a uma temperatura (T) de 300 K . Sabe-se que constante universal dos gases (\mathrm{R}) é 8,314 J /(\mathrm{mol} \mathrm{K}) e a razão entre a fugacidade no estado do sistema e a fugacidade no estado padrão (8) é de 2,0 . Considere \ln (2,0) \quad 0,693.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a diferença de potencial químico \mu_i - \mu_i^\circ (em \mathrm{J/mol}) para o \mathrm{CO}_2 no estado do sistema relativo ao estado padrão, à temperatura dada.
Informações fornecidas:
  • Temperatura: T = 300\\ \mathrm{K}.
  • Constante universal dos gases: R = 8,314\\ \mathrm{J/(mol\;K)}.
  • Razão entre fugacidades: \dfrac{f_i}{f_i^\circ} = 2,0.
  • \ln(2,0) = 0,693.

Passo 2

Fórmula que relaciona potencial químico e fugacidade:
\mu_i(T,P) - \mu_i^\circ(T) = R\,T\,\ln\!\left(\dfrac{f_i}{f_i^\circ}\right).
Explicando a fórmula de forma didática:
  • \mu_i(T,P) é o potencial químico da substância i nas condições do sistema.
  • \mu_i^\circ(T) é o potencial químico padrão da substância i à mesma temperatura.
  • R é a constante dos gases ideais (unidade: \mathrm{J/(mol\;K)}).
  • T é a temperatura absoluta (unidade: \mathrm{K}).
  • \dfrac{f_i}{f_i^\circ} é a razão entre a fugacidade no estado do sistema e a fugacidade no estado padrão (adimensional). A função logarítmica exige um argumento adimensional — por isso usamos a razão.
  • O produto R T tem unidade \mathrm{J/mol}. Como \ln(\cdot) é adimensional, o resultado tem unidade \mathrm{J/mol}, coerente com o que se pede.

Passo 3

Aplicando os valores dados na fórmula:
Primeiro calculo R\cdot T:
R\cdot T = 8,314 \cdot 300 = 2494,2\\ \mathrm{J/mol}.
Agora multiplico por \ln\!\left(\dfrac{f_i}{f_i^\circ}\right)=\ln(2,0)=0,693:
\mu_i - \mu_i^\circ = 2494,2 \times 0,693 = 1728,4806\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 4

Arredondamento e interpretação curta:
  • Arredondando com três algarismos significativos: 1728,48\\ \mathrm{J/mol} (ou aproximadamente 1,73\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}).
  • Interpretação física rápida: como a razão de fugacidade é maior que 1 (duas vezes maior), o potencial químico no estado do sistema é maior que no estado padrão; a diferença positiva indica esse aumento de energia química por mol.

Resposta

1728,48\\ \mathrm{J/mol}

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