Exercício 6

Um motor de indução trifásico de 56 \mathrm{~kW}, 3560 \mathrm{rpm}, 460 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, dois polos, conectado em Y, tem os seguintes parâmetros: R_{s}=0 \Omega, R_{r}=0,18 \Omega, X_{s}=0,13 \Omega, X_{r}=0,2 \Omega e X_{m}=11,4 \Omega. O motor é controlado pela variação da frequência de alimentação. Para um torque de ruptura necessário de 170 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}, calcule (a) a frequência de alimentação e (b) a velocidade \omega_{m} no torque máximo. Utilize a potência nominal e a velocidade para calcular T_{m b}.

Passo 1

O enunciado dá um motor de indução trifásico estrela de 56\,\text{kW}, 3560 rpm, 460 V linha, 60 Hz, dois polos, cujos parâmetros por fase referidos ao estator são
R_s=0,\quad R_r'=0{,}18,\quad X_s=0{,}13,\quad X_r'=0{,}20,\quad X_m=11{,}4\;\Omega.
O motor é comandado em V/f constante. Para um torque de ruptura (breakdown) exigido de 170, N\cdot m, pede-se
(a) a frequência de alimentação f que faz o torque máximo ser 170, N\cdot m;
(b) a velocidade angular \omega_m no ponto de torque máximo.
Primeiro vamos calcular o torque base T_{mb} usando a potência nominal e a velocidade nominal.

Passo 2

A velocidade mecânica nominal em rad/s é
\omega_{m,\text{nom}} = \frac{3560}{60}\,2\pi \approx 372{,}6\;\text{rad/s}.
O torque de saída nominal (torque base) é
T_{mb} = \frac{P_{\text{nom}}}{\omega_{m,\text{nom}}} = \frac{56\,000}{372{,}6} \approx 150{,}3\;\text{N\cdotm}.

Passo 3

Em regime V/f constante mantemos
\frac{V_{\text{linha}}}{f}=\frac{460}{60}\;\frac{\text{V}}{\text{Hz}}.
No modelo de série simplificado (sem ramo magnetizante) o torque máximo a f Hz vale
T_{\max}(f) =\frac{3\,V_{\varphi}^2}{2\,\omega_s\,(X_s+X_r')} \quad\text{com}\quad V_{\varphi}=\frac{460}{\sqrt3}\,\frac{f}{60},\; \omega_s=2\pi f,
de onde se mostra que T_{\max}(f) cresce linearmente com f. Calculemos primeiro T_{\max} a 60 Hz:
V_{\varphi 60} =\frac{460}{\sqrt3}\approx 265{,}7\;\text{V},\quad X_s+X_r'=0{,}13+0{,}20=0{,}33\;\Omega,
T_{\max,60} =\frac{3\,(265{,}7)^2}{2\,(2\pi\cdot 60)\,(0{,}33)} \approx 851{,}4\;\text{N\cdotm}.
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T_{\max}(f)=T_{\max,60}\;\frac{f}{60} \approx 851{,}4\;\frac{f}{60} =14{,}19\,f\quad(\text{N\cdotm, com }f\text{ em Hz}).

Passo 4

Para que o torque máximo seja 170, N\cdot m resolvemos
14{,}19\,f =170 \quad\Longrightarrow\quad f \approx \frac{170}{14{,}19}\approx 11{,}98\;\text{Hz}.

Passo 5

O escorregamento no torque máximo em modelo série é
s_m = \frac{R_r'}{X_s+X_r'} = \frac{0{,}18}{0{,}33}\approx0{,}545.
A velocidade síncrona a f é
N_s = \frac{120\,f}{2\,\text{pólos}}=120\,\frac{f}{1}=120\cdot 11{,}98\approx 1438\;\text{rpm},ó
mas como são dois polos efetivos (um par de polos), na verdade
N_s =\frac{120\,f}{2}=60\,f\approx 60\cdot 11{,}98\approx 719{,}0\;\text{rpm}.
A velocidade mecânica de torque máximo é
N_m = N_s\,(1-s_m)\approx 719{,}0\,(1-0{,}545)\approx 327{,}3\;\text{rpm}.

Passo 6

Convertendo para velocidade angular:
\omega_m = \frac{N_m}{60}\,2\pi \approx \frac{327{,}3}{60}\,2\pi \approx 34{,}3\;\text{rad/s}.

Resposta

(a) f\approx 12,Hz
(b) \omega_m\approx 34{,}3,rad/s

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