Exercício 1.5: Um reservatório rígido com 7 \mathrm{dm}^{3} de volume contém 4,5 \mathrm{~kg} de água (líquido mais vapor) a 38^{\circ} \mathrm{C}. O reservatório é lentamente aquecido. Após um período de tempo suficientemente longo, o nível de líquido terá subido até atingir o topo do reservatório ou terá baixado até o fundo? E se o vaso contivesse 0,45 \mathrm{~kg} em vez de 4,5 \mathrm{~kg} ?

Passo 1

O enunciado dá um reservatório rígido de volume 7\\ \mathrm{dm}^{3} que contém água (líquido + vapor) a 38^\circ\mathrm{C}. Pergunta-se, após aquecimento lento e longo tempo de equilíbrio, se o nível de líquido terá subido até o topo do reservatório ou terá baixado até o fundo, nos dois casos de massa total:
  • caso A: massa total 4,5\\ \mathrm{kg};
  • caso B: massa total 0,45\\ \mathrm{kg}.
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar explicitamente:
  • o volume do reservatório V = 7\\ \mathrm{dm}^{3};
  • as duas massas totais possíveis m = 4,5\\ \mathrm{kg} e m = 0,45\\ \mathrm{kg};
  • a temperatura inicial 38^\circ\mathrm{C} (serve para entender que inicialmente há mistura líquido-vapor, mas a análise deve considerar o aquecimento até outros T).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter o volume para unidades do Sistema Internacional e calcular a razão volume específico (volume por massa), que é constante porque o vaso é rígido.
Converter 7\\ \mathrm{dm}^{3} para \mathrm{m}^{3}:
V = 7\\ \mathrm{dm}^{3} = 7\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3} = 0,007\\ \mathrm{m}^{3}.
O volume específico médio (volume por unidade de massa) é
v = \frac{V}{m}.
Calculemos para cada caso.
Caso A ( m=4,5\\ \mathrm{kg}):
v_A = \frac{0,007}{4,5} = 0,001555\overline{5}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}\approx 0,001556\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}.
Caso B ( m=0,45\\ \mathrm{kg}):
v_B = \frac{0,007}{0,45} = 0,0155\overline{5}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}\approx 0,015556\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}.
Anote: esses v são constantes durante o aquecimento porque V e m não mudam.

Passo 3

Agora preciso explicar o comportamento físico de uma mistura saturada líquido–vapor ao variar a temperatura num volume fixo. Conceitos essenciais, devagar e sem jargões:
  • Para água em equilíbrio bifásico (parte líquida + parte vapor) a uma temperatura T existe um volume específico da fase líquida saturada, chamado \;v_f(T)\; (muito pequeno, cerca de 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} na faixa de temperaturas baixas), e um volume específico da fase vapor saturada, chamado \;v_g(T)\; (muito maior a baixas temperaturas). Esses dois valores dependem de T.
  • A “qualidade” da mistura, denotada por \;x\; (fração mássica de vapor), relaciona o volume específico médio v com \;v_f e \;v_g pela fórmula:
x = \frac{v - v_f(T)}{v_g(T) - v_f(T)}.
Aqui cada termo significa: v é o volume por massa do sistema (fixo no nosso problema), v_f(T) é o volume por massa do líquido saturado a T, v_g(T) é o volume por massa do vapor saturado a T. Se x=0 -> só líquido; se x=1 -> só vapor; valores intermediários -> mistura.
  • À medida que a temperatura aumenta, \;v_f(T)\; cresce ligeiramente e \;v_g(T)\; decresce fortemente. Ambos se encontram no ponto crítico da substância, onde v_f=v_g=v_c (volume específico crítico). Para a água o valor aproximado do volume específico crítico é
v_c \approx 0,0031\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}.
Interpretação prática: com v fixo, ao aquecer a variação de \;v_f(T) e \;v_g(T) pode fazer com que v alcance primeiro \;v_f (então x\to 0, desaparece o vapor e sobra só líquido) ou alcance primeiro \;v_g (então x\to 1, desaparece o líquido e sobra só vapor). Qual dos dois acontece depende da posição do v fixo em relação a v_c:
  • Se v < v_c então o v fixo cruza a curva \;v_f(T)\; (pois v_f sobe até v_c), portanto haverá uma temperatura onde v = v_f(T) e a mistura se transforma em todo líquido (o nível sobe até o topo).
  • Se v > v_c então o v fixo cruza a curva \;v_g(T)\; (pois v_g desce até v_c), portanto haverá uma temperatura onde v = v_g(T) e a mistura se transforma em todo vapor (o nível baixa até o fundo).
Essa é a ideia central que vamos aplicar numericamente aos dois casos.

Passo 4

Comparemos os v calculados com o volume específico crítico aproximado v_c.
Recordando:
v_c \approx 0,0031\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}.
Caso A:
v_A \approx 0,001556\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}.
Observação: v_A < v_c.
Caso B:
v_B \approx 0,015556\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}.
Observação: v_B > v_c.

Passo 5

Interpretação dos resultados usando o raciocínio do Passo 3.
  • Caso A ( v_A < v_c): como v_A é menor que o volume específico crítico, ao aumentar a temperatura a curva de \;v_f(T)\; (volume do líquido saturado) sobe e em algum ponto atinge v_A. Nesse ponto \;v = v_f(T) e, pela fórmula da qualidade, x=0: todo o fluido será líquido saturado — ou seja, o vapor terá condensado e o líquido ocupará todo o volume do reservatório. Na prática: o nível de líquido sobe até o topo do reservatório.
  • Caso B ( v_B > v_c): como v_B é maior que o volume específico crítico, ao aumentar a temperatura a curva de \;v_g(T)\; (volume do vapor saturado) desce e em algum ponto atinge v_B. Nesse ponto \;v = v_g(T) e, pela fórmula da qualidade, x=1: todo o fluido será vapor saturado — ou seja, o líquido terá evaporado completamente e o vapor ocupará todo o volume do reservatório. Na prática: o nível de líquido baixa até o fundo do reservatório (não sobra líquido).
Vou dar uma pequena intuição física para não ficar abstrato: no caso com muita massa ( 4,5\\ \mathrm{kg}) o volume por massa é pequeno; ao aquecer, a pressão sobe muito e o vapor fica mais denso (o vapor se “aperta”), favorecendo condensação e aumento da fração líquida — logo o líquido ocupa tudo. No caso com pouca massa ( 0,45\\ \mathrm{kg}) o volume por massa é grande; ao aquecer o vapor fica menos volumoso, mas ainda assim o sistema tende a vaporizar o líquido para preencher o volume (até que só sobre vapor).

Passo 6

Concretizando a conclusão para cada massa (resumo final, direto ao ponto):
  • Para m=4,5\\ \mathrm{kg} temos v_A\approx 0,001556\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}<v_c. Portanto ao aquecer lentamente o vapor tenderá a desaparecer e o líquido ocupará todo o reservatório — o nível sobe até o topo.
  • Para m=0,45\\ \mathrm{kg} temos v_B\approx 0,015556\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}>v_c. Portanto ao aquecer lentamente o líquido tenderá a evaporar completamente e o vapor ocupará todo o reservatório — o nível baixa até o fundo.

Resposta

Para m=4,5\\ \mathrm{kg}: o nível de líquido sobe até atingir o topo do reservatório.
Para m=0,45\\ \mathrm{kg}: o nível de líquido baixa até o fundo do reservatório.

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