Exercício 1.5: Um reservatório rígido com
de volume contém
de água (líquido mais vapor) a
. O reservatório é lentamente aquecido. Após um período de tempo suficientemente longo, o nível de líquido terá subido até atingir o topo do reservatório ou terá baixado até o fundo? E se o vaso contivesse
em vez de
?
Passo 1
O enunciado dá um reservatório rígido de volume
que contém água (líquido + vapor) a
. Pergunta-se, após aquecimento lento e longo tempo de equilíbrio, se o nível de líquido terá subido até o topo do reservatório ou terá baixado até o fundo, nos dois casos de massa total:
- caso A: massa total
; - caso B: massa total
.
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar explicitamente:
- o volume do reservatório
; - as duas massas totais possíveis
e ; - a temperatura inicial
(serve para entender que inicialmente há mistura líquido-vapor, mas a análise deve considerar o aquecimento até outros ).
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Primeiro passo prático: converter o volume para unidades do Sistema Internacional e calcular a razão volume específico (volume por massa), que é constante porque o vaso é rígido.
Converter
para
:
O volume específico médio (volume por unidade de massa) é
Calculemos para cada caso.
Caso A (
):
Caso B (
):
Anote: esses
são constantes durante o aquecimento porque
e
não mudam.
Passo 3
Agora preciso explicar o comportamento físico de uma mistura saturada líquido–vapor ao variar a temperatura num volume fixo. Conceitos essenciais, devagar e sem jargões:
- Para água em equilíbrio bifásico (parte líquida + parte vapor) a uma temperatura
existe um volume específico da fase líquida saturada, chamado (muito pequeno, cerca de na faixa de temperaturas baixas), e um volume específico da fase vapor saturada, chamado (muito maior a baixas temperaturas). Esses dois valores dependem de . - A “qualidade” da mistura, denotada por
(fração mássica de vapor), relaciona o volume específico médio com e pela fórmula:
Aqui cada termo significa:
é o volume por massa do sistema (fixo no nosso problema),
é o volume por massa do líquido saturado a
,
é o volume por massa do vapor saturado a
. Se
-> só líquido; se
-> só vapor; valores intermediários -> mistura.
- À medida que a temperatura aumenta,
cresce ligeiramente e decresce fortemente. Ambos se encontram no ponto crítico da substância, onde (volume específico crítico). Para a água o valor aproximado do volume específico crítico é
Interpretação prática: com
fixo, ao aquecer a variação de
e
pode fazer com que
alcance primeiro
(então
, desaparece o vapor e sobra só líquido) ou alcance primeiro
(então
, desaparece o líquido e sobra só vapor). Qual dos dois acontece depende da posição do
fixo em relação a
:
- Se
então o fixo cruza a curva (pois sobe até ), portanto haverá uma temperatura onde e a mistura se transforma em todo líquido (o nível sobe até o topo). - Se
então o fixo cruza a curva (pois desce até ), portanto haverá uma temperatura onde e a mistura se transforma em todo vapor (o nível baixa até o fundo).
Essa é a ideia central que vamos aplicar numericamente aos dois casos.
Passo 4
Comparemos os
calculados com o volume específico crítico aproximado
.
Recordando:
Caso A:
Observação:
.
Caso B:
Observação:
.
Passo 5
Interpretação dos resultados usando o raciocínio do Passo 3.
-
Caso A (
): como é menor que o volume específico crítico, ao aumentar a temperatura a curva de (volume do líquido saturado) sobe e em algum ponto atinge . Nesse ponto e, pela fórmula da qualidade, : todo o fluido será líquido saturado — ou seja, o vapor terá condensado e o líquido ocupará todo o volume do reservatório. Na prática: o nível de líquido sobe até o topo do reservatório. -
Caso B (
): como é maior que o volume específico crítico, ao aumentar a temperatura a curva de (volume do vapor saturado) desce e em algum ponto atinge . Nesse ponto e, pela fórmula da qualidade, : todo o fluido será vapor saturado — ou seja, o líquido terá evaporado completamente e o vapor ocupará todo o volume do reservatório. Na prática: o nível de líquido baixa até o fundo do reservatório (não sobra líquido).
Vou dar uma pequena intuição física para não ficar abstrato: no caso com muita massa (
) o volume por massa é pequeno; ao aquecer, a pressão sobe muito e o vapor fica mais denso (o vapor se “aperta”), favorecendo condensação e aumento da fração líquida — logo o líquido ocupa tudo. No caso com pouca massa (
) o volume por massa é grande; ao aquecer o vapor fica menos volumoso, mas ainda assim o sistema tende a vaporizar o líquido para preencher o volume (até que só sobre vapor).
Passo 6
Concretizando a conclusão para cada massa (resumo final, direto ao ponto):
-
Para
temos . Portanto ao aquecer lentamente o vapor tenderá a desaparecer e o líquido ocupará todo o reservatório — o nível sobe até o topo. -
Para
temos . Portanto ao aquecer lentamente o líquido tenderá a evaporar completamente e o vapor ocupará todo o reservatório — o nível baixa até o fundo.
Resposta
Para
: o nível de líquido sobe até atingir o topo do reservatório.
Para
: o nível de líquido baixa até o fundo do reservatório.