Exercício 4: Seja uma curva de raio
. Considere que o plano da curva encontra-se inclinado 20 graus com a horizontal. É possível o carro fazer a curva sem o uso da força de atrito? Qual deve ser a velocidade do carro?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva com raio $ R = 200 , m $ e o plano dessa curva está inclinado em $ 20^\circ $ em relação à horizontal. A pergunta é: é possível um carro fazer essa curva sem usar a força de atrito? E, se sim, a que velocidade o carro deve ir?
Aqui, estamos lidando com conceitos de movimento circular e forças em planos inclinados. Para resolver, vamos precisar entender como a inclinação da curva pode fornecer a força centrípeta necessária para o carro fazer a curva sem depender do atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um carro fazer uma curva circular sem deslizamento, precisa haver uma força centrípeta ($ F_c $) que mantenha o carro na trajetória. Essa força vem da componente horizontal da força normal quando a pista está inclinada.
A força centrípeta é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa do carro,
- $ v $ é a velocidade,
- $ R $ é o raio da curva.
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças atuando no carro. Como a pista está inclinada, a força normal ($ N $) não atua apenas verticalmente, mas também tem uma componente horizontal. Podemos decompor a força normal em duas partes:
- Vertical: $ N \cos(\theta) $
- Horizontal: $ N \sin(\theta) $
Aqui, $ \theta = 20^\circ $ é o ângulo de inclinação.
Passo 4
Para que o carro não desça ou suba na pista, a componente vertical da força normal deve equilibrar o peso do carro. Assim:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $).
Passo 5
A componente horizontal da força normal é responsável por fornecer a força centrípeta necessária:
Passo 6
Vamos dividir a equação da força centrípeta pela equação do equilíbrio vertical para eliminar $ N $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos $ v $ para encontrar a velocidade:
Passo 8
Vamos substituir os valores:
Primeiro, calculamos $ \tan(20^\circ) $:
Então:
Resposta
Sim, o carro pode fazer a curva sem o uso da força de atrito, devendo sua velocidade ser aproximadamente $ 26,73 , m/s $.