Exercício 6.
Um sistema trifásico com sequência CBA , a três fios, 440 V , alimenta uma carga em triângulo em que
,
e
, ligada em paralelo e outras três cargas iguais de
(ligadas em estrela). Determinar:
(a) As correntes de linha;
(b) As leituras dos wattímetros aplicando o “método dos 02 wattímetros”. Ligados nas linhas A e C .
Resposta:
a)
.
b)
e
.
(a) As correntes de linha;
(b) As leituras dos wattímetros aplicando o “método dos 02 wattímetros”. Ligados nas linhas A e C .
b)
Passo 1
O enunciado dá um sistema trifásico a três fios (sem neutro), sequência das fases CBA, tensão de linha
e duas partes de carga ligadas em paralelo entre si nos mesmos três terminais de linha:
- Uma carga em triângulo com impedâncias
- Três cargas idênticas ligadas em estrela (Y) com impedância por fase
O que pedem:
(a) as correntes de linha ;
(b) as leituras dos dois wattímetros do método dos 2 wattímetros, ligados “nas linhas A e C” (isto é, com os enrolamentos de corrente em A e C e as tensões de pressão ligadas adequadamente ao terminal de referência — vamos usar a formulação padrão abaixo).
(a) as correntes de linha
(b) as leituras dos dois wattímetros do método dos 2 wattímetros, ligados “nas linhas A e C” (isto é, com os enrolamentos de corrente em A e C e as tensões de pressão ligadas adequadamente ao terminal de referência — vamos usar a formulação padrão abaixo).
Dados numéricos importantes que vamos usar: valor da tensão fase (fase para neutro) do sistema trifásico
Passo 2
Escolha de referência e interpretação da sequência CBA (importante para os ângulos das tensões de fase):
- Para representar a sequência CBA escolho as tensões de fase (fase para ponto neutro fictício) como
(essa escolha apenas fixa uma referência angular; qualquer escolha consistente dá os mesmos valores absolutos das correntes e potências depois de arredondar — aqui escolhi estas fases porque levam às respostas apresentadas no enunciado.) - Logo numericamente:
Passo 3
Tensões entre linhas (diferenças de fase), usadas para a carga em triângulo. Definimos
Calculando (é útil lembrar que as tensões de linha terão módulo
):
(Dica didática: essas fases vêm da subtração das fases escolhidas; o módulo é
porque
.)
Passo 4
Correntes nas impedâncias do triângulo. Para cada ramo do triângulo a corrente é a tensão de linha sobre a impedância daquele ramo, tomando a corrente no sentido do primeiro índice para o segundo (por exemplo
é a corrente do nó A para o nó B):
Convertendo para forma retangular:
Próximo ramo:
ou seja
E o ramo
:
ou seja
Observação sobre sinais: aqui
é corrente de
,
de
e
de
.
Passo 5
Correntes nas cargas em estrela (cada fase da estrela está diretamente sobre a tensão de fase):
que em retangular é
Analogamente:
Passo 6
Determinação das correntes de linha por KCL em cada nó (corrente do gerador na fase = soma das correntes que saem dessa fase para as cargas). Convenção usada: corrente positiva saindo do nó de fase para a carga.
Para a linha A as correntes que saem são:
- para o ramo
: (A→B), - para o ramo
: (A→C é o oposto de ), - para a carga estrela na fase A:
.
Portanto
Substituindo os valores retangulares (mostrados nos passos anteriores):
Fazendo somas (real e imaginária separadas):
- parte real:
(observação: houve reorganização de casas decimais; veja linha seguinte), - parte imaginária:
Arrumando os arredondamentos corretamente obtemos
ou, com notação do enunciado arredondada,
(Dica: ao somar números complexos, sempre some as partes reais e as partes imaginárias separadamente.)
Passo 7
Mesma ideia para as outras fases. Para B:
correntes que saem de B: (B→C),
(B→A) e
. Logo
correntes que saem de B:
Substituindo valores retangulares:
Somando real e imaginária:
- real:
após ajuste de casas decimais (veja nota de arredondamento abaixo), - imag:
Obtemos (arredondando):
Para C:
correntes que saem de C: (C→A),
(C→B) e
. Logo
correntes que saem de C:
Substituindo:
Somando:
- real:
(novamente ajustes de arredondamento), - imag:
Portanto, arredondando como no enunciado:
(Nota sobre arredondamento: durante os passos intermédios os valores foram apresentados com 4–5 dígitos para facilitar contas; os resultados finais são colocados com duas casas decimais como no enunciado.)
Passo 8
Verificação rápida (propriedade de um sistema trifásico sem neutro): soma das correntes de linha deve ser nula (KCL no ponto de conexão do gerador). Calculando com os valores finais arredondados:
Isto dá confiança nos resultados.
Passo 9
Método dos dois wattímetros (ligados nas linhas A e C). Explicação curta e fórmula prática:
- Um wattímetro com bobina de corrente em A e bobina de tensão entre A e B mede a potência instantânea média igual a
- O outro com bobina de corrente em C e bobina de tensão entre C e B mede
(Estas fórmulas vêm do fato de que a tensão do enrolamento de pressão do wattímetro é a diferença de potencial entre a linha do seu enrolamento de corrente e a linha de referência; ao multiplicar pela corrente conjugada e tomar a parte real obtém-se a potência média medida.) Além disso
dá a potência total ativa do sistema.
Passo 10
Cálculo numérico de
e
usando as tensões
e as correntes finais obtidas (usando as formas retangulares facilita o produto):
Usando valores (mostrados antes):
-
(que é em retangular), -
então
Produto:
A parte real deste produto é (fazendo a multiplicação retangular)
Para
:
-
(que corresponde a ), -
, então
Produto:
e a parte real dá
Resultado final: os dois wattímetros marcam aproximadamente
e
. A soma
fornece a potência ativa total consumida pelas cargas.