Existem situações em que a convecção natural e a convecção forçada ocorrem simultaneamente numa superficie. Nestes casos o efeito combinado dos dois modos pode ser calculado através da relação \left(\mathrm{Nu}_{text {comb }}\right)^{3}=\left(\mathrm{Nu}_{text {nat }}\right)^{3} \pm\left(\mathrm{Nu}_{text {for }}\right)^{3} (sinal de “+” para sentidos de escoamento iguais e de “-” para escoamento com sentidos opostos). Para as mesmas condições utilizadas no item 1 , determine a velocidade mínima do escoamento forçado. em [ \mathrm{m} / \mathrm{s} ], para que a convecção natural possa ser desprezada ( \mathrm{h}_{\text {forçado }} / \mathrm{h}_{\text {comb }}>0,99ç ), numa situação que ambas ocorram no mesmo sentido.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade mínima do escoamento forçado (em \mathrm{m/s}) tal que a convecção natural possa ser desprezada, isto é, que \dfrac{h_{\text{forçado}}}{h_{\text{comb}}}>0,99ç, numa situação em que convecção natural e forçada ocorrem simultaneamente e no mesmo sentido. O enunciado fornece a relação de combinação
\left(\mathrm{Nu}_{\text{comb}}\right)^{3}=\left(\mathrm{Nu}_{\text{nat}}\right)^{3}+\left(\mathrm{Nu}_{\text{for}}\right)^{3}.
Informações explicitamente dadas aqui:
  • A relação de combinação das três potências das Nusselts (acima).
  • A condição desejada \dfrac{h_{\text{forçado}}}{h_{\text{comb}}}>0,99ç.
    Informações necessárias que não foram fornecidas no enunciado atual (fornecidas presumivelmente no “item 1”, que não foi enviado):
  • O valor de \mathrm{Nu}_{\text{nat}} (ou os parâmetros que permitam calculá‑la: geometria, comprimento característico, \Delta T, propriedades do fluido, etc.).
  • A geometria/tipo de escoamento para a convecção forçada (ex.: placa plana, cilindro, tubo, fluxo externo/interno) e o comprimento característico L.
  • Propriedades do fluido: viscosidade dinâmica \mu, densidade \rho, condutividade térmica k, número de Prandtl \mathrm{Pr}.
    Sem esses dados numéricos do item 1 não é possível fornecer um valor numérico para a velocidade. Vou, portanto, (i) derivar claramente a condição mínima em termos de \mathrm{Nu}_{\text{nat}}, (ii) mostrar como transformar essa condição numa velocidade mínima usando a correlação de convecção forçada apropriada e (iii) indicar quais dados faltam para obter o valor numérico final.

Passo 2

Primeiro relacionamos h e \mathrm{Nu}. Pela definição de Nusselt,
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{L},
onde k é a condutividade térmica do fluido e L o comprimento característico. Como k e L são os mesmos para os casos forçado e combinado, tem‑se
\frac{h_{\text{forçado}}}{h_{\text{comb}}}=\frac{\mathrm{Nu}_{\text{for}}}{\mathrm{Nu}_{\text{comb}}}.ç
Logo a condição \dfrac{h_{\text{forçado}}}{h_{\text{comb}}}>0,99ç é equivalente a
\frac{\mathrm{Nu}_{\text{for}}}{\mathrm{Nu}_{\text{comb}}}>0,99.

Passo 3

Usando a relação de combinação das Nusselts (mesmo sentido do escoamento),
\mathrm{Nu}_{\text{comb}}=\big(\mathrm{Nu}_{\text{nat}}^{3}+\mathrm{Nu}_{\text{for}}^{3}\big)^{1/3}.
Substituindo na desigualdade:
\frac{\mathrm{Nu}_{\text{for}}}{\big(\mathrm{Nu}_{\text{nat}}^{3}+\mathrm{Nu}_{\text{for}}^{3}\big)^{1/3}}>0,99.
Elevo ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz:
\frac{\mathrm{Nu}_{\text{for}}^{3}}{\mathrm{Nu}_{\text{nat}}^{3}+\mathrm{Nu}_{\text{for}}^{3}}>0,99^{3}.
Isolando \mathrm{Nu}_{\text{for}}^{3}:
\mathrm{Nu}_{\text{for}}^{3}\big(1-0,99^{3}\big)>0,99^{3}\,\mathrm{Nu}_{\text{nat}}^{3}.
Portanto
\mathrm{Nu}_{\text{for}}^{3}\ge\frac{0,99^{3}}{1-0,99^{3}}\,\mathrm{Nu}_{\text{nat}}^{3}.

Passo 4

Calculo numérico do factor:
0,99^{3}=0,970299,\qquad 1-0,99^{3}=0,029701,
\frac{0,99^{3}}{1-0,99^{3}}=\frac{0,970299}{0,029701}\approx32,666\ldots
Tomando raiz cúbica:
\mathrm{Nu}_{\text{for}}\ge\big(32,666\ldots\big)^{1/3}\,\mathrm{Nu}_{\text{nat}}\approx3,197\,\mathrm{Nu}_{\text{nat}}.
Interpretação: para que h_{\text{forçado}}/h_{\text{comb}}>0,99ç é necessário que a Nusselt do escoamento forçado seja, pelo menos, aproximadamente \boxed{3,197} vezes a Nusselt da convecção natural.

Passo 5

Agora relacionamos \mathrm{Nu}_{\text{for}} com a velocidade V. Para escoamentos forçados é comum usar correlações do tipo
\mathrm{Nu}_{\text{for}}=C\,\mathrm{Re}^{m}\,\mathrm{Pr}^{n},
onde \mathrm{Re}=\dfrac{\rho V L}{\mu} é o número de Reynolds, \mathrm{Pr} o número de Prandtl, e C,m,n constantes dependentes da geometria e do regime de escoamento. Substituindo \mathrm{Re} obtém‑se
\mathrm{Nu}_{\text{for}}=C\left(\dfrac{\rho V L}{\mu}\right)^{m}\mathrm{Pr}^{n}.
Isolando V (usando \mathrm{Nu}_{\text{for}}=\mathrm{Nu}_{\text{for,min}}=3,197\,\mathrm{Nu}_{\text{nat}}):
V_{\min}=\frac{\mu}{\rho L}\left(\frac{\mathrm{Nu}_{\text{for,min}}}{C\,\mathrm{Pr}^{n}}\right)^{1/m}.
Substituindo \mathrm{Nu}_{\text{for,min}}=3,197\,\mathrm{Nu}_{\text{nat}} obtemos a expressão geral
V_{\min}=\frac{\mu}{\rho L}\left(\frac{3,197\,\mathrm{Nu}_{\text{nat}}}{C\,\mathrm{Pr}^{n}}\right)^{1/m}.
Nesta fórmula:
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido ( \mathrm{Pa\cdot s}),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • L é o comprimento característico ( \mathrm{m}),
  • \mathrm{Pr} é o número de Prandtl adimensional,
  • C,m,n dependem da correlação escolhida (geometria e regime).

Passo 6

Exemplos práticos de correlações (para escolher a correta você precisa da geometria do item 1):
  • Placa plana, escoamento externo, regime laminar (perfil interno ao comprimento L com fluxo desenvolvido): \mathrm{Nu}_L=0,332\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}. Aqui C=0,332, m=1/2, n=1/3.
  • Placa plana, escoamento externo, regime totalmente turbulento: \mathrm{Nu}_L=0,0296\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}. Aqui C=0,0296, m=4/5, n=1/3.
  • Cilindro em fluxo externo: usar Churchill–Bernstein (mais complexa) ou tabela específica.
  • Fluxo interno em tubo: usar correlação de Dittus–Boelter para escoamento turbulento em tubo: \mathrm{Nu}=0,023\,\mathrm{Re}^{0,8}\,\mathrm{Pr}^{0,4} (válida sob certas condições).
    Para obter o valor numérico de V_{\min} deve‑se:
  1. Determinar \mathrm{Nu}_{\text{nat}} (ou calcular com a correlação de convecção natural apropriada para a geometria do item 1, por exemplo para placa vertical, cilindro, etc.; natural convection normalmente usa correlações em função de \mathrm{Gr} e \mathrm{Pr}, ex.: \mathrm{Nu}=C(\mathrm{Gr}\,\mathrm{Pr})^{n}).
  2. Escolher a correlação correta para \mathrm{Nu}_{\text{for}} (planta geométrica e regime).
  3. Colocar \mathrm{Nu}_{\text{for,min}}=3,197\,\mathrm{Nu}_{\text{nat}} na fórmula do Passo 5 e substituir \mu,\rho,L,\mathrm{Pr},C,m,n para resolver V_{\min}.

Passo 7

Resumo prático e incentivo: com os números do item 1 (valor de \mathrm{Nu}_{\text{nat}}, geometria, L, \rho,\mu,k,\mathrm{Pr} e escolha da correlação de convecção forçada) siga as instruções do Passo 6 e aplique a fórmula final do Passo 5 para obter imediatamente V_{\min}. Se quiser, me envie os dados do item 1 (ou o valor de \mathrm{Nu}_{\text{nat}}, a geometria e as propriedades do fluido) e eu faço o cálculo numérico passo a passo para você — sem economizar explicação. Vamos conseguir isso!

Resposta

Não é possível fornecer um valor numérico para a velocidade mínima porque o valor de \mathrm{Nu}_{\text{nat}} e as condições geométricas/propriedades do item 1 não foram fornecidos.
É necessário que
\mathrm{Nu}_{\text{for}}\ge3{,}197\,\mathrm{Nu}_{\text{nat}}.
Em termos gerais, usando uma correlação do tipo \mathrm{Nu}_{\text{for}}=C\,\mathrm{Re}^{m}\,\mathrm{Pr}^{n}, a velocidade mínima é
V_{\min}=\frac{\mu}{\rho L}\left(\frac{3{,}197\,\mathrm{Nu}_{\text{nat}}}{C\,\mathrm{Pr}^{n}}\right)^{1/m},
onde \mu,\rho,L,\mathrm{Pr},C,m,n devem ser conhecidos para obter o valor numérico.

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