O ar está expandindo em um sistema de pistão–cilindro de modo que P V^{2}=2, com P em kPa e V em \mathrm{m}^{3}. O trabalho, quando o volume muda de 0,04 \mathrm{~m}^{3} para 0,2 \mathrm{~m}^{3} é mais próximo de:

Passo 1

O enunciado dá a relação entre pressão e volume para um gás num pistão:
P V^{2}=2,
com P em \mathrm{kPa} e V em \mathrm{m}^{3}. O volume varia de 0,04\\ \mathrm{m}^{3} para 0,2\\ \mathrm{m}^{3}. A pergunta é: qual é o trabalho realizado durante essa expansão?

Passo 2

Lembrete importante sobre trabalho em um processo quasiestático num pistão: o trabalho realizado pelo gás quando o volume varia de V_{1} para V_{2} é
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV.
Aqui W tem unidades de pressão vezes volume. Como P está em \mathrm{kPa} e V em \mathrm{m}^{3}, a unidade de W é \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^{3}. Uma nota prática: 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^{3}=1\\ \mathrm{kJ}, então o valor obtido em \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^{3} pode ser lido diretamente em \mathrm{kJ}.

Passo 3

Precisamos expressar P como função de V. A partir de \,P V^{2}=2,
P=\frac{2}{V^{2}}\quad(\mathrm{kPa}).

Passo 4

Substituímos P na integral do trabalho com V_{1}=0{,}04\\ \mathrm{m}^{3} e V_{2}=0{,}2\\ \mathrm{m}^{3}:
W=\int_{0{,}04}^{0{,}2}\frac{2}{V^{2}}\,dV=2\int_{0{,}04}^{0{,}2}V^{-2}\,dV.
Agora usamos a regra de integração: para n\neq -1,
\int V^{n}\,dV=\frac{V^{n+1}}{n+1}.
No nosso caso n=-2, portanto
\int V^{-2}\,dV=-V^{-1}=-\frac{1}{V}.
Multiplicando por 2,
\int \frac{2}{V^{2}}\,dV=-\frac{2}{V}.

Passo 5

Avaliamo-s a primitiva entre os limites:
W=\left[-\frac{2}{V}\right]_{0{,}04}^{0{,}2}=-\frac{2}{0{,}2}-\left(-\frac{2}{0{,}04}\right).
Calcule passo a passo: -\dfrac{2}{0{,}2}=-10 e -\dfrac{2}{0{,}04}=-50, então
W=(-10)-(-50)=40.

Passo 6

Interpretando unidades: o valor 40 está em \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^{3}, que é igual a \mathrm{kJ}. O sinal positivo indica que o gás realizou trabalho durante a expansão.

Resposta

W=40\\ \mathrm{kJ}

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