1- Un ciclo Rankine con sobrecalentamiento opera con agua como fluido de trabajo. Entre los limites de presión de 3 MPa en la caldera y 30 kPa en el condensador siendo la temperatura de entrada a la turbina de 700^{\circ} \mathrm{C}. La caldera está diseñada para operar con un flujo de vapor de 50 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Determinar el rendimiento térmico y la potencia que produce la turbina y que consume la bomba. (55 puntos)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas:
  • Pressão da caldeira: \,P_{bo} = 3{,}0\\ \text{MPa}.
  • Pressão do condensador: \,P_{cond} = 30\\ \text{kPa} = 0{,}03\\ \text{MPa}.
  • Temperatura de entrada da turbina: \,T_1 = 700^\circ\text{C}.
  • Vazão mássica de vapor na caldeira: \dot{m}=50\\ \text{kg/s}.
O que se pede:
  • Rendimento térmico do ciclo Rankine (eficiência térmica) \eta_{th}.
  • Potência que produz a turbina (potência útil do fluxo de vapor).
  • Potência que consome a bomba.
Observação: o enunciado não especifica eficiências isentrópicas. Vou assumir o ciclo Rankine ideal (expansão e compressão isentrópicas), que é o procedimento clássico para este tipo de exercício salvo indicação contrária. Vou usar tabelas de vapor/valores termodinâmicos (IAPWS/steam tables) para obter entalpias e entropias necessárias — a seguir eu explico e uso esses valores.

Passo 2

Definição dos estados do ciclo e as grandezas que precisamos calcular (nomes e relações físicas):
  • Estado 1: entrada da turbina — vapor sobreaquecido a \,P_1 = P_{bo} e \,T_1. Precisamos de \,h_1 e \,s_1.
  • Estado 2: saída da turbina — após expansão isentrópica até \,P_2 = P_{cond}. Para expansão isentrópica temos \,s_2 = s_1. Como \,P_2 é baixo, o vapor pode ficar em mistura líquido-vapor; então calculamos a qualidade \,x_2 e a entalpia \,h_2.
  • Estado 3: saída do condensador — água saturada líquida a \,P_3 = P_{cond}. Temos \,h_3 = h_f(P_{cond}) e \,v_3 \approx v_f(P_{cond}).
  • Estado 4: saída da bomba — água comprimida até \,P_4 = P_{bo}. Para bomba ideal (isentrópica aproxima-se por trabalho de compressão de líquido) usamos \,w_{pump} \approx v_3 (P_{bo}-P_{cond}) em unidades coerentes e \,h_4 = h_3 + w_{pump}.
Grandezas por massa de fluido:
  • Trabalho específico da turbina: \,w_t = h_1 - h_2.
  • Trabalho específico da bomba: \,w_p = h_4 - h_3 \approx v_3 (P_{bo}-P_{cond}).
  • Calor adicionado na caldeira: \,q_{in} = h_1 - h_4.
  • Rendimento térmico do ciclo: \displaystyle \eta_{th} = \frac{w_t - w_p}{q_{in}}.
Potências (para vazão mássica \dot{m}):
  • Potência da turbina: \, \dot{W}_{turb} = \dot{m}\, w_t.
  • Potência da bomba: \, \dot{W}_{pump} = \dot{m}\, w_p.
Notas sobre unidades:
  • Em tabelas, pressões costumam aparecer em MPa ou kPa; para calcular w_p = v\Delta P usar \Delta P em \text{kPa} e v em \text{m}^3/\text{kg} para obter w_p em \text{kJ}/\text{kg} (pois 1\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/\text{kg} = 1\\ \text{kJ}/\text{kg}).

Passo 3

Obter valores das tabelas de vapor (usei valores padrão de steam tables / IAPWS; abaixo informo os números que usei — em prova você pega esses valores nas tabelas):
  • No estado 1: para \,P_1 = 3{,}0\\ \text{MPa} e \,T_1 = 700^\circ\text{C} (vapor sobreaquecido) as propriedades são, das tabelas:
    h_1 = 3675{,}1\\ \text{kJ/kg},\qquad s_1 = 6{,}800\\ \text{kJ/(kg\,K)}.
    (estes valores foram retirados da tabela de vapor sobreaquecido; em prova copie o valor exato da sua tabela.)
  • No condensador, a \,P_{cond} = 30\\ \text{kPa} = 0{,}03\\ \text{MPa}, propriedades saturadas (da tabela de líquido/vapor saturado):
    h_f(P_{cond}) = h_3 = 293{,}07\\ \text{kJ/kg},
s_f(P_{cond}) = s_f = 1{,}021\\ \text{kJ/(kg\,K)},
s_g(P_{cond}) = s_g = 8{,}148\\ \text{kJ/(kg\,K)},
h_g(P_{cond}) = 2724{,}70\\ \text{kJ/kg}.
(novamente, pegue esses números na sua tabela; eu os usei para os cálculos seguintes).
  • Do par acima, a entalpia de vaporização a \,P_{cond} é
    h_{fg}(P_{cond}) = h_g - h_f = 2724{,}70 - 293{,}07 = 2431{,}63\\ \text{kJ/kg}.
  • Dado o volume específico do líquido saturado a \,P_{cond} (usado no cálculo da bomba):
    v_3 = v_f(P_{cond}) = 0{,}00103\\ \text{m}^3/\text{kg}.
    (valor típico para água líquida; use o da sua tabela).

Passo 4

Expansão isentrópica na turbina: cálculo da qualidade no estado 2 e da entalpia \,h_2.
  • Como assumimos expansão isentrópica, temos \,s_2 = s_1 = 6{,}800\\ \text{kJ/(kg\,K)}.
  • Se esse valor de entropia está entre s_f e s_g à pressão de descarga, o vapor está em mistura. Calcule a qualidade \,x_2 por:
    x_2 = \frac{s_2 - s_f}{s_g - s_f} = \frac{6{,}800 - 1{,}021}{8{,}148 - 1{,}021}.
    Vamos calcular passo a passo:
    s_2 - s_f = 6{,}800 - 1{,}021 = 5{,}779\\ \text{kJ/(kg\,K)},
s_g - s_f = 8{,}148 - 1{,}021 = 7{,}127\\ \text{kJ/(kg\,K)},
x_2 = \frac{5{,}779}{7{,}127} \approx 0{,}8106.
  • Agora a entalpia no estado 2 (mistura) é h_2 = h_f + x_2\, h_{fg} = 293{,}07 + 0{,}8106\cdot 2431{,}63.Calcule: x_2\,h_{fg} = 0{,}8106 \times 2431{,}63 \approx 1970{,}03\\ \text{kJ/kg},
h_2 \approx 293{,}07 + 1970{,}03 = 2263{,}10\\ \text{kJ/kg}.

Passo 5

Trabalho específico da turbina e da bomba (por kg):
  • Trabalhos da turbina (específico):
    w_t = h_1 - h_2 = 3675{,}10 - 2263{,}10 = 1412{,}00\\ \text{kJ/kg}.
  • Trabalho específico da bomba (aproximação w_p \approx v_3 (P_{bo}-P_{cond})):
    • Pressões em \text{kPa}: \,P_{bo} = 3{,}0\\ \text{MPa} = 3000\\ \text{kPa}, \,P_{cond} = 30\\ \text{kPa}.
    • \Delta P = 3000 - 30 = 2970\\ \text{kPa}.
    • Assim w_p \approx v_3\,\Delta P = 0{,}00103\\ \text{m}^3/\text{kg} \times 2970\\ \text{kPa} = 3{,}0591\\ \text{kJ/kg}.
    • e entalpia depois da bomba: h_4 = h_3 + w_p = 293{,}07 + 3{,}0591 \approx 296{,}13\\ \text{kJ/kg}.

Passo 6

Calor fornecido na caldeira e rendimento térmico do ciclo:
  • Calor específico adicionado na caldeira:
    q_{in} = h_1 - h_4 = 3675{,}10 - 296{,}13 = 3378{,}97\\ \text{kJ/kg}.
  • Trabalho específico líquido (por kg):
    w_{net} = w_t - w_p = 1412{,}00 - 3{,}0591 = 1408{,}94\\ \text{kJ/kg}.
  • Rendimento térmico do ciclo:
    \eta_{th} = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{1408{,}94}{3378{,}97} \approx 0{,}4170 = 41{,}70\%.
(Interpretação: cerca de 41{,}7\% da energia térmica adicionada vira trabalho líquido neste ciclo ideal.)

Passo 7

Potências para a vazão mássica \dot{m}=50\\ \text{kg/s}:
  • Potência produzida pela turbina:
    \dot{W}_{turb} = \dot{m}\, w_t = 50\\ \text{kg/s} \times 1412{,}00\\ \text{kJ/kg} = 70600\\ \text{kW} = 70{,}600\\ \text{kW} \approx 70{,}6\\ \text{MW}.
  • Potência consumida pela bomba:
    \dot{W}_{pump} = \dot{m}\, w_p = 50\\ \text{kg/s} \times 3{,}0591\\ \text{kJ/kg} = 152{,}96\\ \text{kW} \approx 153\\ \text{kW}.
  • Potência líquida do ciclo:
    \dot{W}_{net} = \dot{m}\, w_{net} = 50\times 1408{,}94 = 70{,}447\\ \text{kW} \approx 70{,}45\\ \text{MW}.

Passo 8

Resumo da interpretação e dicas para a prova (curtas e úteis):
  • Sempre identifique os quatro estados: entrada/saída turbina e bomba, com pressão e (quando dado) temperatura.
  • Use as tabelas para obter \,h e \,s no estado superaquecido e para obter h_f,\,h_g,\,s_f,\,s_g,\,v_f na pressão do condensador.
  • Para expansão isentrópica, compare s_1 com s_g da pressão final; se s_1<s_g o vapor fica na região de mistura e você usa a fórmula da qualidade \,x.
  • Para trabalho da bomba, a aproximação w_p\approx v\Delta P é adequada porque o líquido é pouco compressível.
  • Unidades: atenção para usar \text{kPa} com \text{m}^3/\text{kg} para obter \text{kJ}/\text{kg}.

Resposta

\eta_{th} \approx 41{,}70\%
\dot{W}_{turb} \approx 70{,}600\\ \text{kW}
\dot{W}_{pump} \approx 153\\ \text{kW}

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